1. Questão: (5 pts) Responda verdadeiro ou falso e justifique sua resposta (ou seja, prove se for verdadeira ou dê um exemplo se a afirmativa for falsa).
    (a) Se det(A-I)=0, então det(A)=-1.
    (b) Se uma matriz invertível A é tal que A^-1=A^2 então det(A)=1.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmativas sobre determinantes de matrizes e pede para responder “verdadeiro” ou “falso”, justificando. O conteúdo envolvido é teoria de determinantes: propriedade de determinante de soma (ou valor de determinante nulo indica matriz singular), relação entre determinante e autovalores, e as propriedades
det(A^-1) = det(A)^-1,
det(A^k) = [det(A)]^k

Passo 2

Analisando (a): “Se det(A - I)=0, então det(A)=-1”.
det(A - I)=0 significa que A - I é singular, ou seja, 1 é autovalor de A. Mas isso não impõe valor fixo ao produto de todos os autovalores det(A).
Exemplo simples: tome A=I (a identidade de qualquer ordem).
det(A - I)=det(I - I)=det(0)=0,
porém
det(A)=det(I)=1neq -1
Logo a afirmativa é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “Se uma matriz invertível A é tal que A^-1=A^2 então det(A)=1”.
Aplicamos determinante em ambos os lados de A^-1=A^2:
det(A^-1)=det(A^2)
Pelas propriedades,
det(A)^-1 = [det(A)]^2 Longrightarrow [det(A)]^3 = 1
Assim det(A) é raiz cúbica de 1. Se A for de entradas reais, det(A) também é real, e a única raiz real de x^3=1 é x=1. Portanto det(A)=1, comprovando a afirmativa.

Resposta

(a) Falsa. Exemplo: A=I det(A-I)=0 mas det(A)=1.
(b) Verdadeira. De det(A^-1)=det(A^2) segue det(A)^3=1 e, em matrizes reais, det(A)=1.

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