- Questão: (5 pts) Responda verdadeiro ou falso e justifique sua resposta (ou seja, prove se for verdadeira ou dê um exemplo se a afirmativa for falsa).
(a)
.
(b) Se uma matriz invertível
é tal que
então
.
(a)
(b) Se uma matriz invertível
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas sobre determinantes de matrizes e pede para responder “verdadeiro” ou “falso”, justificando. O conteúdo envolvido é teoria de determinantes: propriedade de determinante de soma (ou valor de determinante nulo indica matriz singular), relação entre determinante e autovalores, e as propriedades
Passo 2
Analisando (a): “Se
, então
”.
significa que
é singular, ou seja,
é autovalor de
. Mas isso não impõe valor fixo ao produto de todos os autovalores
.
Exemplo simples: tome (a identidade de qualquer ordem).
Exemplo simples: tome
porém
Logo a afirmativa é falsa.
Passo 3
Analisando (b): “Se uma matriz invertível
é tal que
então
”.
Aplicamos determinante em ambos os lados de :
Aplicamos determinante em ambos os lados de
Pelas propriedades,
Assim
é raiz cúbica de
. Se
for de entradas reais,
também é real, e a única raiz real de
é
. Portanto
, comprovando a afirmativa.
Resposta
(a) Falsa. Exemplo:
dá
mas
.
(b) Verdadeira. De segue
e, em matrizes reais,
.
(b) Verdadeira. De