Questão 10 - Pulso de tensão de duração T em série R-C.
A fonte v_{s}(t) aplica um pulso retangular de amplitude V_{0} e duração T : v_{s}(t)=V_{0} u(t)-V_{0} u(t-T). O circuito é série R-C \operatorname{com} v_{C}\left(0^{-}\right)=0.
(a) Determine v_{C}(t) para todo t \geq 0. (Dica: escreva em duas fases: carga 0 \leq t<T e descarga t \geq T.)
(b) Encontre o valor máximo de v_{C}(t) e o instante em que ocorre em função de R, C, V_{0} e T.
(c) Para T=\tau=R C, calcule v_{C}(2 \tau) e a energia total armazenada no capacitor ao final do pulso.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série R C alimentado por um pulso retangular de tensão
v_s(t)=V_0\,u(t)-V_0\,u(t-T)
com v_C(0^-)=0. Queremos achar v_C(t) em duas fases (carga e descarga), depois identificar o valor máximo e o instante em que ocorre, e finalmente, para T=\tau=RC, calcular v_C(2\tau) e a energia armazenada no capacitor ao fim do pulso. O conteúdo é solução de equações diferenciais de 1ª ordem em régimes transitório de carga/descarga de RC.

Passo 2

Para 0\le t<T a fonte vale V_0, então a EDO é
\frac{dv_C}{dt}+\frac{1}{RC}\,v_C=\frac{V_0}{RC}
A solução geral é soma da particular v_{Cp}=V_0 com a homogênea Ae^{-t/(RC)}. Como v_C(0)=0, temos
v_C(t)=V_0\Bigl(1-e^{-t/(RC)}\Bigr)\quad(0\le t<T).

Passo 3

Para t\ge T a fonte cai a zero e a EDO vira
\frac{dv_C}{dt}+\frac{1}{RC}\,v_C=0
com condição inicial v_C(T^-)=V_0\bigl(1-e^{-T/(RC)}\bigr). Logo
v_C(t)=V_0\bigl(1-e^{-T/(RC)}\bigr)\,e^{-\,(t-T)/(RC)} \quad(t\ge T).

Passo 4

Em 0\le t<T, v_C(t) cresce monoticamente de 0 a V_0(1-e^{-T/(RC)}). Em t\ge T, ela decai exponencialmente. Logo o valor máximo ocorre em t=T, valendo
v_{C,\max}=v_C(T)=V_0\bigl(1-e^{-T/(RC)}\bigr).

Passo 5

Para T=\tau=RC:
  1. Em t=2\tau (fase de descarga)
v_C(2\tau) =V_0\bigl(1-e^{-1}\bigr)\,e^{-\,((2\tau-\tau)/\tau)} =V_0\bigl(1-e^{-1}\bigr)\,e^{-1} =V_0\bigl(e^{-1}-e^{-2}\bigr).
  1. A energia no capacitor ao fim do pulso t=T=\tau é
E=\tfrac12\,C\,[v_C(\tau)]^2 =\tfrac12\,C\,\bigl(V_0(1-e^{-1})\bigr)^2.

Resposta

(a)
v_C(t)= \begin{cases} V_0\Bigl(1-e^{-t/(RC)}\Bigr),&0\le t< T,\\\ V_0\bigl(1-e^{-T/(RC)}\bigr)e^{-(t-T)/(RC)},&t\ge T. \end{cases}
(b)
v_{C,\max}=V_0\bigl(1-e^{-T/(RC)}\bigr) \quad\text{em }t=T.
(c) Para T=\tau:
v_C(2\tau)=V_0\bigl(e^{-1}-e^{-2}\bigr), \qquad E=\tfrac12\,C\,V_0^2\,(1-e^{-1})^2.

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