Questão 9 - Fonte de corrente e resistor em paralelo com C.
No circuito, a chave S fecha em t=0, aplicando uma fonte de corrente ideal I_{0} a um ramo paralelo formado por R e C. Considere v_{C}\left(0^{-}\right)=0.
(a) Escreva e resolva a equação diferencial de v_{C}(t) para t \geq 0.
(b) Determine o instante t em que a corrente pelo resistor \left(i_{R}=v_{C} / R\right) igual a corrente pelo capacitor ( i_{C}=C v_{C} t ).
(c) Calcule a energia armazenada no capacitor em t.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito de primeira ordem em que, para t\ge0, uma fonte de corrente ideal I_{0} é ligada a um ramo paralelo formado por um resistor R e um capacitor C. Sabemos que v_{C}(0^-)=0.
Conteúdo envolvido: leis de Kirchhoff (KCL), equação diferencial linear de 1ª ordem, condições iniciais, divisão de corrente e energia em capacitor.

Passo 2

Aplicamos KCL no nó do paralelo resistor–capacitor. A corrente da fonte se distribui em R e em C:
I_{0}=i_{R}+i_{C}=\frac{v_{C}(t)}{R}+C\frac{dv_{C}}{dt}.
Reescrevendo, obtemos a equação diferencial linear de 1ª ordem:
\frac{dv_{C}}{dt}+\frac{1}{RC}\,v_{C}(t)=\frac{I_{0}}{C}.

Passo 3

Para resolver
\frac{dv_{C}}{dt}+\frac{1}{RC}v_{C}=\frac{I_{0}}{C},\quad v_{C}(0)=0,
reconhecemos que o coeficiente \frac{1}{RC} é constante. A solução geral é
v_{C}(t)=K e^{-t/(RC)}+V_{\infty},
onde V_{\infty} é o valor em regime permanente e K ajusta a condição inicial.
  • Em regime permanente t\to\infty, o termo de derivada some e v_{C}\to I_{0}R, logo V_{\infty}=I_{0}R.
  • Em t=0, v_{C}(0)=0 deve igualar K+I_{0}R, dando K=-I_{0}R.
    Portanto
\boxed{v_{C}(t)=I_{0}R\Bigl(1-e^{-t/(RC)}\Bigr),\quad t\ge0.}

Passo 4

Queremos i_{R}=i_{C}. Como
i_{R}=\frac{v_{C}}{R},\quad i_{C}=C\frac{dv_{C}}{dt},
impondo
\frac{v_{C}(t)}{R}=C\frac{dv_{C}}{dt}
e usando v_{C}(t)=I_{0}R\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr), tem-se
\frac{I_{0}R\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr)}{R} =C\cdot\frac{I_{0}R}{RC}e^{-t/(RC)} \;\Longrightarrow\; 1-e^{-t/(RC)}=e^{-t/(RC)}.
Logo 2e^{-t/(RC)}=1, ou
\boxed{t=RC\ln2.}

Passo 5

A energia armazenada no capacitor a um instante t é
w_{C}(t)=\frac12\,C\,[\,v_{C}(t)\,]^{2} =\frac12\,C\bigl[I_{0}R\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr)\bigr]^{2}.

Resposta

(a) Equação diferencial
\frac{dv_{C}}{dt}+\frac{1}{RC}v_{C}=\frac{I_{0}}{C}, \quad v_{C}(0)=0
e solução
v_{C}(t)=I_{0}R\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr),\;t\ge0.
(b) Instante em que i_{R}=i_{C}:
t=RC\ln2.
(c) Energia no capacitor em t:
w_{C}(t)=\tfrac12\,C\bigl[I_{0}R\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr)\bigr]^{2}.

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