Questão 8 - Resolva as equações de Bernoulli:
3 x y^{\prime}+4 y=\sqrt{\frac{x}{y}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
3x\,y' + 4y = \sqrt{\frac{x}{y}}.
O conteúdo é equação de Bernoulli, que tem a forma
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^n,
e vamos usar a substituição clássica para transformá-la em uma equação linear.

Passo 2

Colocando em forma padrão, dividimos por 3x:
y' + \frac{4}{3x}\,y = \frac{1}{3}\,x^{-\tfrac12}\,y^{-\tfrac12}.
Aqui identificamos
p(x)=\frac{4}{3x}, \quad q(x)=\frac{1}{3}\,x^{-\tfrac12}, \quad n=-\tfrac12.

Passo 3

Na equação de Bernoulli usa-se a substituição
u = y^{1-n} = y^{1-(-\tfrac12)} = y^{\tfrac32}.
Derivando,
u' = \tfrac32\,y^{\tfrac12}\,y' \quad\Longrightarrow\quad y^{-n}\,y' = y^{\tfrac12}\,y' = \frac{2}{3}\,u'.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por y^{-n}=y^{\tfrac12}:
y^{\tfrac12}y' + \frac{4}{3x}\,y^{\tfrac32} = \frac{1}{3}\,x^{-\tfrac12}.
Substituindo y^{\tfrac12}y' = \tfrac{2}{3}u' e y^{\tfrac32}=u, obtemos
\frac{2}{3}u' + \frac{4}{3x}\,u = \frac{1}{3}x^{-\tfrac12}.
Multiplicando tudo por \tfrac32 dá a equação linear
u' + \frac{2}{x}\,u = \tfrac12\,x^{-\tfrac12}.

Passo 5

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\!\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr)=x^2.
Multiplicando por x^2:
(x^2u)' = \tfrac12\,x^{\tfrac32}.
Integramos:
x^2u = \int \tfrac12\,x^{\tfrac32}dx = \tfrac12\cdot\frac{x^{\tfrac52}}{\tfrac52} + C = \frac{1}{5}\,x^{\tfrac52} + C.
Logo
u = \frac{1}{5}\,x^{\tfrac12} + C\,x^{-2}.

Passo 6

Voltando à variável y, como u=y^{\tfrac32}, temos
y^{\tfrac32} = \frac{1}{5}\,x^{\tfrac12} + C\,x^{-2},
portanto
y(x) = \Bigl(\frac{1}{5}\,x^{\tfrac12} + C\,x^{-2}\Bigr)^{\tfrac{2}{3}}.

Resposta

y(x)=\Bigl(\tfrac{1}{5}\,x^{\tfrac12}+C\,x^{-2}\Bigr)^{\tfrac{2}{3}},
onde C é constante de integração.

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