Questão 8 - Resolva as equações de Bernoulli:
x y^{\prime}+y=3 x \sqrt{y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
x\,y' + y = 3x\sqrt{y}.
Este é um caso de equação de Bernoulli, pois podemos escrever em forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^n
com n=\tfrac12. Vamos usar a transformação clássica para y^n.

Passo 2

Dividindo por x (supondo x\neq0), obtemos
y' + \frac{1}{x}\,y = 3\,y^{1/2}.
Aqui identificamos
p(x)=\frac1x,\quad q(x)=3,\quad n=\frac12.

Passo 3

Na equação de Bernoulli faz-se a troca
v = y^{1-n} = y^{1-\tfrac12} = y^{1/2},
logo y = v^2. Calculamos
y' = 2v\,v'.

Passo 4

Substituindo em y' + \tfrac1x y = 3\,y^{1/2} fica
2v\,v' + \frac{1}{x}v^2 = 3v \quad\Longrightarrow\quad 2x\,v\,v' = 3x\,v - v^2.
Dividindo por 2x\,v (supondo v\neq0), resulta
v' + \frac{1}{2x}\,v = \frac{3}{2}.
Isto é uma equação linear de 1ª ordem em v.

Passo 5

Para resolver
v' + \frac{1}{2x}\,v = \frac{3}{2},
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\!\int \frac{1}{2x}dx\Bigr) = \exp\!\bigl(\tfrac12\ln x\bigr) = x^{1/2}.
Multiplicando tudo por x^{1/2}
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}v\bigr) = \frac{3}{2}\,x^{1/2},
logo integrando
x^{1/2}v = \int \frac{3}{2}x^{1/2}dx = x^{3/2} + C.
Assim
v = \frac{x^{3/2}+C}{x^{1/2}} = x + C\,x^{-1/2}.
Voltando a y:
\sqrt{y} = v = x + C\,x^{-1/2} \quad\Longrightarrow\quad y = \bigl(x + C\,x^{-1/2}\bigr)^2.

Resposta

y(x) = \bigl(x + C\,x^{-1/2}\bigr)^2,
em que C é constante arbitrária de integração.

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