Questão 12 (AMAN - RJ)
O resultado de \frac{1+2 i}{1-3 i}+\frac{i}{1+3 i} é igual a:
a) \frac{1}{5}-\frac{3}{5} \mathrm{i}
b) \frac{1}{5}+\frac{2}{5} \mathrm{i}
c) -\frac{1}{5}+\frac{3}{5} \mathrm{i}
d) \frac{1}{3}-\frac{2}{5} \mathrm{i}
e) \frac{2}{3}+\frac{2}{3} \mathrm{i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\frac{1+2\mathrm{i}}{1-3\mathrm{i}}+\frac{\mathrm{i}}{1+3\mathrm{i}}
e escolher a alternativa correta entre:
a) \frac{1}{5}-\frac{3}{5}\mathrm{i}
b) \frac{1}{5}+\frac{2}{5}\mathrm{i}
c) -\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\mathrm{i}
d) \frac{1}{3}-\frac{2}{5}\mathrm{i}
e) \frac{2}{3}+\frac{2}{3}\mathrm{i}
As informações dadas são as duas frações complexas que precisamos somar.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): quando temos uma fração com números complexos no denominador, por exemplo \frac{a+ b\mathrm{i}}{c + d\mathrm{i}}, convém multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é c - d\mathrm{i}. Isso elimina a parte imaginária no denominador porque
(c+d\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})=c^{2}-(d\mathrm{i})^{2}=c^{2}-d^{2}\mathrm{i}^{2}=c^{2}+d^{2},
que é um número real. Assim transformamos a fração numa forma x+y\mathrm{i} com numerador e denominador reais, o que facilita somar com outra fração complexa.

Passo 3

Aplicando o método ao primeiro termo \frac{1+2\mathrm{i}}{1-3\mathrm{i}}: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1+3\mathrm{i}.
No numerador:
(1+2\mathrm{i})(1+3\mathrm{i})=1\cdot1+1\cdot3\mathrm{i}+2\mathrm{i}\cdot1+2\mathrm{i}\cdot3\mathrm{i}=1+3\mathrm{i}+2\mathrm{i}+6\mathrm{i}^{2}.
Como \mathrm{i}^{2}=-1, temos 6\mathrm{i}^{2}=6(-1)=-6. Portanto
(1+2\mathrm{i})(1+3\mathrm{i})=1+5\mathrm{i}-6=-5+5\mathrm{i}.
No denominador:
(1-3\mathrm{i})(1+3\mathrm{i})=1^{2}+(3)^{2}=1+9=10.
Logo
\frac{1+2\mathrm{i}}{1-3\mathrm{i}}=\frac{-5+5\mathrm{i}}{10}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}.

Passo 4

Agora o segundo termo \frac{\mathrm{i}}{1+3\mathrm{i}}: multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1-3\mathrm{i}.
No numerador:
\mathrm{i}(1-3\mathrm{i})=\mathrm{i}-3\mathrm{i}^{2}=\mathrm{i}-3(-1)=\mathrm{i}+3=3+\mathrm{i}.
No denominador (mesmo que antes):
(1+3\mathrm{i})(1-3\mathrm{i})=10.
Portanto
\frac{\mathrm{i}}{1+3\mathrm{i}}=\frac{3+\mathrm{i}}{10}=\frac{3}{10}+\frac{1}{10}\mathrm{i}.

Passo 5

Somamos os dois resultados:
\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)+\left(\frac{3}{10}+\frac{1}{10}\mathrm{i}\right).
Somando a parte real:
-\frac{1}{2}+\frac{3}{10}=-\frac{5}{10}+\frac{3}{10}=-\frac{2}{10}=-\frac{1}{5}.
Somando a parte imaginária:
\frac{1}{2}+\frac{1}{10}=\frac{5}{10}+\frac{1}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.
Portanto o resultado da soma é
-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\mathrm{i}.

Passo 6

Dica rápida para a prova: ao racionalizar, calcule o denominador por c^{2}+d^{2} (se o denominador for c+d\mathrm{i}) para evitar contar sinais errados; faça as contas com denominadores comuns simples (10 aqui) para somar partes real e imaginária sem calculadora. Força — você já segurou essa!

Resposta

c) -\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\mathrm{i}

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