Seja uma base de .
(1) Mostre que também é base de , onde .
Passo 1
O enunciado dá uma base de e define três vetores cujas coordenadas em relação a são
Queremos mostrar que também é base de . O conteúdo principal é verificar independência linear em , o que pode ser feito calculando o determinante da matriz de mudança de base.
Passo 2
Para testar se são linearmente independentes, montamos a matriz cujas colunas são justamente os vetores coordenados em :
Se det(M)neq 0, então as colunas são linearmente independentes e formam base de R^3.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de M. Usando a regra de Sarrus ou cofactores:
Como det(M)=-12neq 0, as colunas de M são linearmente independentes em R^3. Logo u,v,w são independentes e, como são três vetores em espaço de dimensão 3, formam base de V^3.
Resposta
C=(u,v,w) é base de V^3 porque o determinante da matriz de coordenadas em relação a B é det(M)=-12neq0.