Seja B=(x, y, z) uma base de V^3.
(1) Mostre que C=(u, v, w) também é base de V^3, onde [u]B=(1,2,1),[v]B=(1,-1,-1) e [w]B=(2,1,4).

Passo 1

O enunciado dá uma base B=(x,y,z) de V^3 e define três vetores u,v,w cujas coordenadas em relação a B são
[u]B=(1,2,1), [v]B=(1,-1,-1), [w]B=(2,1,4)
Queremos mostrar que C=(u,v,w) também é base de V^3. O conteúdo principal é verificar independência linear em R^3, o que pode ser feito calculando o determinante da matriz de mudança de base.

Passo 2

Para testar se u,v,w são linearmente independentes, montamos a matriz M cujas colunas são justamente os vetores coordenados em B:
M = 1 & 1 & 2 2 & -1 & 1 1 & -1 & 4
Se det(M)neq 0, então as colunas são linearmente independentes e formam base de R^3.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de M. Usando a regra de Sarrus ou cofactores:
det(M) =1cdotl((-1)cdot4 - 1cdot(-1)r) -1cdotl(2cdot4 - 1cdot1r) +2cdotl(2cdot(-1) - (-1)cdot1r)
Agora simplificamos cada termo:
1cdot(-4+1) ;-;1cdot(8-1);+;2cdot(-2+1) =-3 ;-;7 ;+;2cdot(-1) =-3-7-2 =-12

Passo 4

Como det(M)=-12neq 0, as colunas de M são linearmente independentes em R^3. Logo u,v,w são independentes e, como são três vetores em espaço de dimensão 3, formam base de V^3.

Resposta

C=(u,v,w) é base de V^3 porque o determinante da matriz de coordenadas em relação a B é det(M)=-12neq0.

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