Questão 5: Sobre o anel \mathbb{Z}_{n} dos inteiros módulo n, onde n \in \mathbb{Z}_{+}. Responda:
A) Apresente dois elementos não nulos de a, b \in \mathbb{Z}_{12}, tais que a \cdot b=0;
B) Quais elementos de \mathbb{Z}_{12} não são divisores de zero?
C) Como podemos descrever o conjunto dos divisores de zero de \mathbb{Z}_{12} ?

Passo 1

O enunciado trata do anel \mathbb{Z}_{12} (os inteiros módulo 12) e pergunta sobre divisores de zero. Vamos usar a caracterização padrão em \mathbb{Z}_{n}: um elemento \overline{a} é divisor de zero se e somente se \gcd(a,n)\neq1.

Passo 2

Definição e caracterização em \mathbb{Z}_{n}:
Um elemento \overline{a}\in\mathbb{Z}_{n}, com \overline{a}\neq\overline{0}, é divisor de zero se existe \overline{b}\neq\overline{0} tal que
\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{0}\,.
Em \mathbb{Z}_{n}, isso ocorre exatamente quando \gcd(a,n)\neq1.

Passo 3

(A) Escolhemos dois elementos não nulos em \mathbb{Z}_{12} com \gcd(a,12)\neq1 e cujo produto seja \equiv0\pmod{12}. Por exemplo,
a=\overline{3},\quad b=\overline{4}
pois
3\cdot4=12\equiv0\pmod{12}
logo \overline{3}\cdot\overline{4}=\overline{0}.

Passo 4

(B) Os elementos que não são divisores de zero são exatamente aqueles com \gcd(a,12)=1. São as classes
\overline{1},\\ \overline{5},\\ \overline{7},\\ \overline{11},
pois cada uma é coprima com 12 e, portanto, não anula nenhum outro elemento não nulo.

Passo 5

(C) O conjunto dos divisores de zero em \mathbb{Z}_{12} é o complemento (excluindo a classe \overline{0} caso se use a definição “não nulo”) dos coprimos com 12. Equivalente a
\{\overline{a}\in\mathbb{Z}_{12}\mid \gcd(a,12)\neq1\}.
Em termos de representantes, são
\overline{2},\\ \overline{3},\\ \overline{4},\\ \overline{6},\\ \overline{8},\\ \overline{9},\\ \overline{10}.

Resposta

A) Dois exemplos são \overline{3} e \overline{4}, pois \overline{3}\cdot\overline{4}=\overline{0}.
B) As classes que não são divisores de zero são
\overline{1},\,\overline{5},\,\overline{7},\,\overline{11}.
C) O conjunto de todos os divisores de zero é
\{\overline{a}\mid \gcd(a,12)\neq1\} = \{\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{6},\overline{8},\overline{9},\overline{10}\}.

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