Questão 10: Seja o espaço vetorial real dos polinômios de grau menor ou igual a 3.
a. Verifique que é uma base de .
b. Determine as coordenadas de na base .
c. Prove que é um subespaço vetorial de .
Passo 1
O enunciado trabalha com o espaço vetorial , que tem dimensão .
(a) Pede para verificar que é uma base de , ou seja, que essas quatro funções são linearmente independentes (e portanto geram ).
(b) Depois devemos expressar como combinação linear dos vetores de , encontrando suas coordenadas em .
(c) Finalmente, mostrar que
é um subespaço de , aplicando os critérios de subespaço (fechamento em soma e produto escalar).
Passo 2
Para (a) testamos independência linear. Considere a combinação
Expandindo,
Igualando coeficientes a zero obtemos o sistema
Da terceira e quarta equações vem c3=0 e então 2c4=0implies c4=0. Logo c1=c2=c3=c4=0, o que mostra independência linear. Como temos 4 vetores em um espaço de dimensão 4, concluímos que alpha é base de P3(R).
e igualamos coeficientes. Expandindo o lado direito:
a,t^3 + b,t^2 +(-b + c + 2d),t + c
Comparando com t^3+2t^2-3t+1 obtemos
a=1, b=2, -b + c +2d = -3, c=1
Como b=2 e c=1, da terceira equação vem -2 +1 +2d = -3implies 2d=-2implies d=-1.
Portanto as coordenadas de p na base alpha são
[a,b,c,d] = [1,,2,,1,,-1]
Passo 4
Para (c) usamos o critério de subespaço. Primeiro notamos que o polinômio zero satisfaz 0(0)=0 e 0(2)=0, logo 0in W.
Agora, se p,qin W então p(0)=p(2)=0 e q(0)=q(2)=0. Para qualquer lambdainR:
Logo p+qin W e lambda pin W. Assim W é subespaço de P3(R).
Resposta
a. alpha é independente linear e, por ter 4 vetores em espaço de dimensão 4, é base de P3(R).
b. As coordenadas de p(t)=t^3+2t^2-3t+1 na base alpha são l[1,,2,,1,,-1r].
c. W é subespaço, pois contém o polinômio zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar.