Questão 10: Seja V=P3(t) o espaço vetorial real dos polinômios de grau menor ou igual a 3.
a. Verifique que alpha=t^3, t^2-t, t+1,2 t é uma base de P3(R).
b. Determine as coordenadas de p(t)=t^3+2 t^2-3 t+1 na base alpha.
c. Prove que W=p in P3(R) mid p(0)=p(2)=0 é um subespaço vetorial de P3(R).

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço vetorial V=P3(R), que tem dimensão dim P3(R)=4.
(a) Pede para verificar que alpha=t^3,,t^2-t,,t+1,,2t é uma base de P3(R), ou seja, que essas quatro funções são linearmente independentes (e portanto geram V).
(b) Depois devemos expressar p(t)=t^3+2t^2-3t+1 como combinação linear dos vetores de alpha, encontrando suas coordenadas em alpha.
(c) Finalmente, mostrar que
W=,pin P3(R)mid p(0)=p(2)=0
é um subespaço de P3(R), aplicando os critérios de subespaço (fechamento em soma e produto escalar).

Passo 2

Para (a) testamos independência linear. Considere a combinação
c1,t^3 + c2,(t^2 - t) + c3,(t+1) + c4,(2t) ;=; 0(polinômio nulo) ô
Expandindo,
c1,t^3 + c2,t^2 +(-c2 + c3 + 2c4),t + c3 ;=; 0
Igualando coeficientes a zero obtemos o sistema
c1 = 0, c2 = 0, -c2 + c3 + 2c4 = 0 ;Rightarrow; c3 + 2c4 = 0, c3 = 0
Da terceira e quarta equações vem c3=0 e então 2c4=0implies c4=0. Logo c1=c2=c3=c4=0, o que mostra independência linear. Como temos 4 vetores em um espaço de dimensão 4, concluímos que alpha é base de P3(R).

Passo 3

Para (b) escrevemos
p(t)=t^3+2t^2-3t+1 = a,t^3 + b,(t^2 - t) + c,(t+1) + d,(2t)
e igualamos coeficientes. Expandindo o lado direito:
a,t^3 + b,t^2 +(-b + c + 2d),t + c
Comparando com t^3+2t^2-3t+1 obtemos
a=1, b=2, -b + c +2d = -3, c=1
Como b=2 e c=1, da terceira equação vem -2 +1 +2d = -3implies 2d=-2implies d=-1.
Portanto as coordenadas de p na base alpha são
[a,b,c,d] = [1,,2,,1,,-1]

Passo 4

Para (c) usamos o critério de subespaço. Primeiro notamos que o polinômio zero satisfaz 0(0)=0 e 0(2)=0, logo 0in W.
Agora, se p,qin W então p(0)=p(2)=0 e q(0)=q(2)=0. Para qualquer lambdainR:
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0, (p+q)(2)=0+0=0,
(lambda p)(0)=lambda,p(0)=lambdacdot0=0, (lambda p)(2)=lambda,p(2)=0
Logo p+qin W e lambda pin W. Assim W é subespaço de P3(R).

Resposta

a. alpha é independente linear e, por ter 4 vetores em espaço de dimensão 4, é base de P3(R).
b. As coordenadas de p(t)=t^3+2t^2-3t+1 na base alpha são l[1,,2,,1,,-1r].
c. W é subespaço, pois contém o polinômio zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar.

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