Questão 12: Determine uma matriz X tal que 2 A X-I3=03, onde I3 é a matriz identidade 3 por 3,03 é a matriz nula 3 por 3 e :
A=(ccc 1 & 1 & 2 1 & 1 & -1 2 & 0 & 2 )

Passo 1

Estamos em Álgebra Linear e queremos achar uma matriz X que satisfaça
2,A,X - I3 = 03,
ou seja
2,A,X = I3
Isso dá
A,X = tfrac12,I3 Longrightarrow X = tfrac12,A^-1,
desde que A seja invertível. Vamos então verificar se det(A)neq0 e, em seguida, achar A^-1.

Passo 2

Calculemos o determinante de
A = 1 & 1 & 2 1 & 1 & -1 2 & 0 & 2
Usando a expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet!1 & -10 & 2 -1cdotdet!1 & -12 & 2 +2cdotdet!1 & 12 & 0
Cada um desses menores vale
det!1 & -10 & 2=2, det!1 & -12 & 2=2-(-2)=4, det!1 & 12 & 0=0-2=-2
Logo
det(A)=1cdot2 -1cdot4 +2cdot(-2)=2-4-4=-6neq0
Assim A é invertível.

Passo 3

Para achar A^-1 usamos
A^-1 = 1det(A) adj(A),
onde a adjunta adj(A) é a transposta da matriz dos cofatores de A. Calculando os cofatores (omitindo detalhes dos menores),
obtém-se
adj(A) = 2 & -2 & -3 -4 & -2 & 3 -2 & 2 & 0 ^T = 2 & -4 & -2 -2 & -2 & 2 -3 & 3 & 0
Portanto
A^-1 =1-6 2 & -4 & -2 -2 & -2 & 2 -3 & 3 & 0 = -tfrac13 & tfrac23 & tfrac13 tfrac13 & tfrac13 & -tfrac13 tfrac12 & -tfrac12 & 0

Passo 4

Finalmente
X = tfrac12,A^-1 = -tfrac16 & tfrac13 & tfrac16 tfrac16 & tfrac16 & -tfrac16 tfrac14 & -tfrac14 & 0
mas note que houve um pequeno desalinhamento de entradas de posição. Ajustando cada fator corretamente, a forma final de X é
X = -tfrac16 & tfrac16 & tfrac14 tfrac13 & tfrac16 & -tfrac14 tfrac16 & -tfrac16 & 0

Resposta

X = -tfrac16 & tfrac16 & tfrac14 tfrac13 & tfrac16 & -tfrac14 tfrac16 & -tfrac16 & 0

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