Questão 11: Considere os seguintes subespaços vetoriais do R^4 : U= [(1,-1,0,0),(0,0,1,1)] e W=[(-2,2,1,1),(1,0,0,0)].
a. O vetor v=(0,2,1,1) pertence a U ?
b. O vetor v=(0,2,1,1) pertence a W ?
c. Determine uma base do subespaço U cap W.
d. Determine uma base do subespaço U+W.

Passo 1

O enunciado define em R^4 os subespaços
U=span(1,-1,0,0),,(0,0,1,1), W=span(-2,2,1,1),,(1,0,0,0)
e pede:
a. testar se v=(0,2,1,1) está em U;
b. testar se v está em W;
c. achar uma base de Ucap W;
d. achar uma base de U+W.

Passo 2

Para ver se vin U escrevemos
a(1,-1,0,0)+b(0,0,1,1)=(0,2,1,1)
Comparando componentes:
  1. a=0,
  2. -a=2,
  3. b=1,
  4. b=1.
    Da 1) teríamos a=0, mas então 2) dá 0=-2, impossível. Logo vnotin U.

Passo 3

Para ver se vin W escrevemos
c(-2,2,1,1)+d(1,0,0,0)=(0,2,1,1)
Comparando:
  1. -2c+d=0,
  2. 2c=2 implies c=1,
  3. c=1,
  4. c=1.
    De 2) vem c=1, e então da 1) temos -2cdot1+d=0implies d=2. Isso satisfaz as outras componentes, logo vin W.

Passo 4

Para achar Ucap W, procuramos vetores que admitam
a(1,-1,0,0)+b(0,0,1,1) = c(-2,2,1,1)+d(1,0,0,0)
Igualando componentes:
  1. a=-2c+d,
  2. -a=2c,
  3. b=c,
  4. b=c.
    Da 2) vem a=-2c. Substituindo em 1) obtemos -2c=-2c+dimplies d=0. E 3) dá b=c.
    Então qualquer vetor da intersecção é
a(1,-1,0,0)+b(0,0,1,1) = -2c,(1,-1,0,0)+c,(0,0,1,1) =c,(-2,2,1,1)
Logo Ucap W=span(-2,2,1,1).

Passo 5

Para U+W usamos a fórmula
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)=2+2-1=3
Bastam 3 vetores independentes dentre os geradores de U e W. Por exemplo, pode-se escolher
(1,-1,0,0), (0,0,1,1), (1,0,0,0),
que são claramente linearmente independentes e geram U+W.

Resposta

(a) vnotin U.
(b) vin W.
(c) Uma base de Ucap W é (-2,2,1,1).
(d) Uma base de U+W é (1,-1,0,0),,(0,0,1,1),,(1,0,0,0).

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