Questão 11: Considere os seguintes subespaços vetoriais do
:
e
.
a. O vetor
pertence a
?
b. O vetor
pertence a
?
c. Determine uma base do subespaço
.
d. Determine uma base do subespaço
.
a. O vetor
b. O vetor
c. Determine uma base do subespaço
d. Determine uma base do subespaço
Passo 1
O enunciado define em
os subespaços
e pede:
a. testar se está em
;
b. testar se está em
;
c. achar uma base de ;
d. achar uma base de .
a. testar se
b. testar se
c. achar uma base de
d. achar uma base de
Passo 2
Para ver se
escrevemos
Comparando componentes:
-
, -
, -
, -
.
Da 1) teríamos, mas então 2) dá , impossível. Logo .
Passo 3
Para ver se
escrevemos
Comparando:
-
, -
, -
, -
.
De 2) vem, e então da 1) temos . Isso satisfaz as outras componentes, logo .
Passo 4
Para achar
, procuramos vetores que admitam
Igualando componentes:
-
, -
, -
, -
.
Da 2) vem. Substituindo em 1) obtemos . E 3) dá .
Então qualquer vetor da intersecção é
Logo
.
Passo 5
Para
usamos a fórmula
Bastam 3 vetores independentes dentre os geradores de
e
. Por exemplo, pode-se escolher
que são claramente linearmente independentes e geram
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Uma base de é
.
(d) Uma base de é
.
(b)
(c) Uma base de
(d) Uma base de