Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
Toda reta em
é um suespaço vetorial de
.
Toda reta em
Passo 1
O enunciado pergunta se “toda reta em
é um subespaço vetorial de
”. O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais, e vamos precisar usar a definição de subespaço e testar as propriedades de fechamentos.
Passo 2
Uma parte
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três condições:
. O vetor nulo está em
.
.
é fechado sob adição: se
então
.
.
é fechado sob multiplicação escalar: se
e
então
.
Passo 3
Uma reta genérica em
pode ser dada por
com
. Para
ser subespaço precisamos que
, o que impõe
Logo, somente as retas que passam pela origem (i.e.\
) contêm o vetor nulo. Se
, temos um contra-exemplo simples: a reta
(isto é,
) não contém
e ainda falha na multiplicação escalar, pois
mas
.
Passo 4
Concluímos que nem toda reta em
é subespaço vetorial. Só são subespaços aquelas que passam pela origem, pois aí e somente aí satisfazem todas as propriedades de fechamento e contêm o vetor zero.
Resposta
A afirmação é falsa.