Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
Toda reta em R^2 é um suespaço vetorial de R^2.

Passo 1

O enunciado pergunta se “toda reta em R^2 é um subespaço vetorial de R^2”. O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais, e vamos precisar usar a definição de subespaço e testar as propriedades de fechamentos.

Passo 2

Uma parte W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três condições:
1. O vetor nulo está em W.
2. W é fechado sob adição: se u,vin W então u+vin W.
3. W é fechado sob multiplicação escalar: se uin W e lambdainR então lambda uin W.

Passo 3

Uma reta genérica em R^2 pode ser dada por
L=(x,y)inR^2 mid a x + b y + c = 0,
com (a,b)neq(0,0). Para L ser subespaço precisamos que (0,0)in L, o que impõe
acdot0 + bcdot0 + c = 0 Longrightarrow c = 0
Logo, somente as retas que passam pela origem (i.e.\ c=0) contêm o vetor nulo. Se cneq0, temos um contra-exemplo simples: a reta y=1 (isto é, 0cdot x+1cdot y-1=0) não contém (0,0) e ainda falha na multiplicação escalar, pois (0,1)in L mas 2,(0,1)=(0,2)notin L.

Passo 4

Concluímos que nem toda reta em R^2 é subespaço vetorial. Só são subespaços aquelas que passam pela origem, pois aí e somente aí satisfazem todas as propriedades de fechamento e contêm o vetor zero.

Resposta

A afirmação é falsa.

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