Questão 8: Classifique se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique:
(x, y, z) in R^3 mid x+y <= 0 é um subespaço vetorial de R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = (x,y,z)in R^3 mid x+y <= 0
é um subespaço vetorial de R^3.
Para isso, vamos usar o teste de subespaço:
  1. 0in S;
  2. Se u,vin S então u+vin S;
  3. Se uin S e alphain R então alpha uin S.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo:
(0,0,0)in S?
Como 0+0=0<= 0, o vetor nulo está em S.

Passo 3

Verificamos a soma de dois elementos genéricos u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em S.
Temos x1+y1<=0 e x2+y2<=0. Então
(x1+x2)+(y1+y2) = (x1+y1)+(x2+y2)<=0+0=0,
logo u+vin S.

Passo 4

Verificamos a estabilidade por multiplicação escalar. Basta encontrar um contraexemplo.
Escolha
u = (1,-2,0)in Spois 1+(-2)=-1<=0
Para alpha = -1 temos
alpha u = (-1,2,0),
e
(-1)+2=1 not<= 0,
portanto alpha unotin S.

Resposta

A afirmação é falsa, pois S não é fechado sob multiplicação escalar.

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