Questão 1. Seja V um espaço euclidiano. Mostre que
|\langle u, v\rangle| \leq\|u\|\|v\|, \forall u, v \in V .

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz num espaço euclidiano V, ou seja,
|\langle u,v\rangle|\le \|u\|\,\|v\|\quad\forall u,v\in V.
Vamos usar a definição de norma induzida pelo produto interno e uma argumentação com um polinômio em parâmetro real.

Passo 2

Defina a aplicação
f(t)=\|\,u - t\,v\|^{2}=\langle u - t\,v,\;u - t\,v\rangle,
para t\in\mathbb{R}. Como norma ao quadrado é sempre não negativa, temos
f(t)\ge 0,\quad\forall t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Expanda f(t) usando a bilinearidade e simetria do produto interno:
f(t) =\langle u,u\rangle-2\,t\,\langle u,v\rangle+t^{2}\,\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}-2\,t\,\langle u,v\rangle+t^{2}\,\|v\|^{2}.
Isso mostra que f(t) é um polinômio de segundo grau em t com coeficiente líder \|v\|^{2}\ge0.

Passo 4

Um polinômio quadrático a\,t^{2}+b\,t+c é não negativo para todo t se, e somente se, seu discriminante satisfaz \Delta\le0. Aqui
\Delta =\bigl(-2\,\langle u,v\rangle\bigr)^{2}-4\,\|v\|^{2}\,\|u\|^{2} =4\,\bigl(\langle u,v\rangle^{2}-\|u\|^{2}\|v\|^{2}\bigr)\le0.
Logo
\langle u,v\rangle^{2}\le \|u\|^{2}\,\|v\|^{2}.

Passo 5

Tirando raiz quadrada em ambos os lados e lembrando que raiz gera valor não negativo, obtemos
|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|.

Resposta

|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|.

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