Questão 1. Seja
um espaço euclidiano. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy–Schwarz num espaço euclidiano
, ou seja,
Vamos usar a definição de norma induzida pelo produto interno e uma argumentação com um polinômio em parâmetro real.
Passo 2
Defina a aplicação
para
. Como norma ao quadrado é sempre não negativa, temos
Passo 3
Expanda
usando a bilinearidade e simetria do produto interno:
Isso mostra que
é um polinômio de segundo grau em
com coeficiente líder
.
Passo 4
Um polinômio quadrático
é não negativo para todo
se, e somente se, seu discriminante satisfaz
. Aqui
Logo
Passo 5
Tirando raiz quadrada em ambos os lados e lembrando que raiz gera valor não negativo, obtemos