Questão 12: Chama-se trac̣o de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal, denotamos circ traço de uma matriz A por tr(A). Determine x e y na matriz A=[lll1 & 2 & 3 0 & x & 4 0 & 0 & y] para que tr(A)=9 e x seja circ triplo de y.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz triangular superior
A = 1 & 2 & 3 0 & x & 4 0 & 0 & y
e pede para encontrar x e y tais que tr(A)=9 e x seja triplo de y. Vamos usar a definição de traço e resolver o sistema de equações gerado por essas condições.

Passo 2

Pela definição, o traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal. Então
tr(A)=1 + x + y
Como queremos tr(A)=9, temos
1 + x + y = 9 Longrightarrow x + y = 8

Passo 3

A segunda condição diz que x é triplo de y, isto é,
x = 3y

Passo 4

Substituindo x=3y na equação x+y=8, obtemos
3y + y = 8 Longrightarrow 4y = 8 Longrightarrow y = 2

Passo 5

Agora basta calcular x a partir de x=3y:
x = 3 cdot 2 = 6

Resposta

x = 6 e y = 2.

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