Questão 9 Sejam
uma função satisfazendo
,
. Prove que existe
tal que
Passo 1
O enunciado diz que
satisfaz
com
. Isso significa que
é uma contração. Vamos usar o método de iterar
para mostrar que existe um ponto fixo
tal que
.
Passo 2
Escolhemos um ponto inicial arbitrário
e definimos a sequência
Pela propriedade de contração, para todo
vale
Iterando essa desigualdade obtemos
Passo 3
Para mostrar que
é de Cauchy, tomamos
e escrevemos
Como
, fazemos
e o lado direito tende a zero, logo
é Cauchy. Como
é completo, existe
Passo 4
A condição de Lipschitz implica que
é contínua. Assim, passando ao limite na relação
, obtemos
Portanto,
é um ponto fixo de
.
Resposta
Existe
tal que