Questão 9 Sejam f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função satisfazendo |f(x)-f(y)| \leq L|x-y|, \forall x, y \in \mathbb{R}, 0<L<1. Prove que existe x_{0} \in \mathbb{R} tal que f\left(x_{0}\right)=x_{0}

Passo 1

O enunciado diz que f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfaz
|f(x)-f(y)| \le L\,|x-y|\quad\forall x,y\in\mathbb{R},
com 0 < L < 1. Isso significa que f é uma contração. Vamos usar o método de iterar f para mostrar que existe um ponto fixo x_0 tal que f(x_0)=x_0.

Passo 2

Escolhemos um ponto inicial arbitrário x_1\in\mathbb{R} e definimos a sequência
x_{n+1} = f(x_n),\quad n=1,2,3,\dots
Pela propriedade de contração, para todo n\ge1 vale
|x_{n+1}-x_n| = |f(x_n)-f(x_{n-1})| \le L\,|x_n - x_{n-1}|.
Iterando essa desigualdade obtemos
|x_{n+1}-x_n| \le L^{n-1}\,|x_2-x_1|.

Passo 3

Para mostrar que (x_n) é de Cauchy, tomamos m>n e escrevemos
|x_m - x_n| \le \sum_{k=n}^{m-1} |x_{k+1}-x_k| \le \sum_{k=n}^{m-1} L^{k-1}\,|x_2-x_1| = L^{n-1}\,\frac{1 - L^{\,m-n}}{1-L}\,|x_2-x_1|.
Como 0<L<1, fazemos n\to\infty e o lado direito tende a zero, logo (x_n) é Cauchy. Como \mathbb{R} é completo, existe
x_0 = \lim_{n\to\infty} x_n\in\mathbb{R}.

Passo 4

A condição de Lipschitz implica que f é contínua. Assim, passando ao limite na relação x_{n+1}=f(x_n), obtemos
x_0 = \lim_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim_{n\to\infty} f(x_n) = f\bigl(\lim_{n\to\infty} x_n\bigr) = f(x_0).
Portanto, x_0 é um ponto fixo de f.

Resposta

Existe x_{0}\in\mathbb{R} tal que
f(x_{0}) = x_{0}.

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