Questão 8 Sejam f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua e \left(x_{n}\right) uma sequência. Mostre que, se x_{n} \rightarrow a, então y_{n}=f\left(x_{n}\right) \rightarrow f(a).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua
\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}
e uma sequência \bigl(x_{n}\bigr) tal que
\displaystyle x_{n}\to a.
Queremos mostrar que a sequência
\displaystyle y_{n}=f\bigl(x_{n}\bigr)
converge para f(a).
Para isso, vamos usar a definição de continuidade ( \epsilon \delta) e a definição de limite de sequência.

Passo 2

Como f é contínua em a, temos a seguinte afirmação:
para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que
|x - a| < \delta,
então
\bigl|f(x) - f(a)\bigr| < \varepsilon.

Passo 3

Por outro lado, a convergência x_{n}\to a significa que:
para esse mesmo \delta>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\bigl|x_{n} - a\bigr| < \delta.

Passo 4

Agora, fixe um \varepsilon>0.
Pela continuidade, escolha \delta>0 satisfazendo o passo 2.
Em seguida, pela convergência de x_{n}, obtenha N como no passo 3.
Então, para todo n\ge N temos
\bigl|x_{n}-a\bigr|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x_{n})-f(a)\bigr|<\varepsilon.
Isso mostra exatamente que y_{n}=f(x_{n}) converge para f(a).

Resposta

\lim_{n\to\infty}f\bigl(x_{n}\bigr)=f(a).

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