Questão 27 Mostre que
|x-a|<\epsilon \Rightarrow|x|<|a|+\epsilon .

Passo 1

O enunciado dá a hipótese |x-a|<\epsilon (presumivelmente com \epsilon>0) e pede que se mostre a implicação
|x-a|<\epsilon \Rightarrow |x|<|a|+\epsilon .
Informações relevantes que temos:
  • Uma desigualdade envolvendo valores absolutos: |x-a|<\epsilon.
  • Queremos obter uma desigualdade envolvendo |x| e |a|: |x|<|a|+\epsilon.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é valor absoluto e algumas propriedades básicas (isso é importante para entender cada passo depois).
  • Definição: para y\in\mathbb{R}\), \[|y|=\begin{cases} y, & y\ge 0,\\\\ -y, & y<0. \end{cases}
  • Interpretação útil: |y|\] é a "distância" entre \(y e 0 na reta real.
  • Propriedade óbvia: |y|\ge 0 para todo y, e |y|=0 sse y=0.
Essas ideias vão nos ajudar a usar uma desigualdade fundamental: a desigualdade triangular.

Passo 3

Apresentar e provar (rapidamente) a desigualdade triangular para números reais:
Afirmação: para quaisquer u,v\in\mathbb{R},
|u+v|\le |u|+|v|.
Prova curta: escrever o quadrado dos dois lados (ambos são não negativos) e comparar.
|u+v|^2=(u+v)^2=u^2+2uv+v^2.
Como uv\le |u||v| (pois uv pode ser menor que ou igual a |u||v| dependendo dos sinais), segue
u^2+2uv+v^2 \le u^2+2|u||v|+v^2 = (|u|+|v|)^2.
Tomando a raiz quadrada em ambos os lados (ambos não negativos) obtemos
|u+v|\le |u|+|v|.
Pronto: a desigualdade triangular está demonstrada.

Passo 4

Aplicar a desigualdade triangular ao caso concreto que nos interessa. Escolha u=x-a e v=a. Então u+v=(x-a)+a=x. Pela desigualdade triangular,
|x| = |(x-a)+a| \le |x-a| + |a|.

Passo 5

Agora usar a hipótese |x-a|<\epsilon. A partir de
|x| \le |x-a| + |a|
e substituindo a desigualdade estrita para |x-a| obtemos
|x| \le |x-a| + |a| < \epsilon + |a|.
Como \epsilon+|a|=|a|+\epsilon, isto implica
|x| < |a| + \epsilon.

Passo 6

Comentário final e pequeno exemplo para fixar: a demonstração mostrou que a distância de x até 0 é no máximo a soma da distância de x até a com a distância de a até 0. Se a distância de x até a é menor que \epsilon, então a distância de x até 0 é menor que |a|+\epsilon. Exemplo numérico: se a=2, \epsilon=0,5 e x=2{,}3, então |x-a|=0{,}3<0{,}5 e |x|=2{,}3<2+0{,}5=2{,}5, que confirma a desigualdade.

Resposta

|x-a|<\epsilon \Rightarrow |x|<|a|+\epsilon

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