Questão 27 Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a hipótese
(presumivelmente com
) e pede que se mostre a implicação
Informações relevantes que temos:
- Uma desigualdade envolvendo valores absolutos:
. - Queremos obter uma desigualdade envolvendo
e : .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é valor absoluto e algumas propriedades básicas (isso é importante para entender cada passo depois).
- Definição: para
- Interpretação útil:
e
na reta real. - Propriedade óbvia:
para todo , e sse .
Essas ideias vão nos ajudar a usar uma desigualdade fundamental: a desigualdade triangular.
Passo 3
Apresentar e provar (rapidamente) a desigualdade triangular para números reais:
Afirmação: para quaisquer ,
Afirmação: para quaisquer
Prova curta: escrever o quadrado dos dois lados (ambos são não negativos) e comparar.
Como
(pois
pode ser menor que ou igual a
dependendo dos sinais), segue
Tomando a raiz quadrada em ambos os lados (ambos não negativos) obtemos
Pronto: a desigualdade triangular está demonstrada.
Passo 4
Aplicar a desigualdade triangular ao caso concreto que nos interessa. Escolha
e
. Então
. Pela desigualdade triangular,
Passo 5
Agora usar a hipótese
. A partir de
e substituindo a desigualdade estrita para
obtemos
Como
, isto implica
Passo 6
Comentário final e pequeno exemplo para fixar: a demonstração mostrou que a distância de
até
é no máximo a soma da distância de
até
com a distância de
até
. Se a distância de
até
é menor que
, então a distância de
até
é menor que
. Exemplo numérico: se
,
e
, então
e
, que confirma a desigualdade.