Questão 8. (Série de Maclaurin) Para f(x)=\ln (1+x) :
(a) Escreva a série de Maclaurin até o termo de ordem x^{5} e indique o raio/intervalo de convergência.
(b) Use a série para aproximar \ln \left(\frac{3}{2}\right) de modo que o erro absoluto seja <10^{-4}. Justifique a escolha do número de termos.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a função
f(x)=\ln(1+x)
e queremos (a) escrever sua série de Maclaurin até o termo de ordem x^5 e indicar o raio/intervalo de convergência; (b) usar essa série para aproximar \ln\!\bigl(\tfrac32\bigr)=\ln(1+\tfrac12) com erro absoluto menor que 10^{-4}, justificando quantos termos são necessários.

Passo 2

Para encontrar a série de Maclaurin de f(x)=\ln(1+x), lembramos que
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{x^n}{n} \quad\text{para \(|x|<1\).}
Extraímos os cinco primeiros termos desse desenvolvimento:
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\cdots

Passo 3

Determinamos o raio de convergência R pela razão entre termos consecutivos:
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}|x|\;\frac{n}{n+1}=|x|.
Para convergência, precisamos de |x|<1, ou seja, R=1.
Na fronteira, em x=1 a série alternada converge (condicionalmente) a \ln2, mas em x=-1 diverge. Assim o intervalo de convergência é
-1<x\le1.

Passo 4

Para aproximar \ln\bigl(1+\tfrac12\bigr) com erro absoluto <10^{-4}, usamos o critério de resto da série alternada:
|R_N|\le\bigl|\text{o próximo termo}\bigr| =\frac{\bigl|\tfrac12\bigr|^{N+1}}{N+1}.ó
Queremos
\frac{(1/2)^{N+1}}{N+1}<10^{-4}.
Testando valores de N:
para N=8 obtemos \tfrac{(1/2)^9}{9}\approx2{,}17\times10^{-4}, ainda maior que 10^{-4};
para N=9 obtemos \tfrac{(1/2)^{10}}{10}= \tfrac{1}{1024\cdot10}\approx9{,}76\times10^{-5}<10^{-4}.
Logo, precisamos de pelo menos N=9 termos.

Passo 5

Calculamos a soma parcial até n=9 em x=\tfrac12:
S_9=\sum_{n=1}^{9}(-1)^{n-1}\,\frac{(1/2)^n}{n} =0{,}4055323\quad(\text{aproximado}).
Esse valor difere de \ln(3/2)\approx0{,}4054651 em menos de 10^{-4}, cumprindo a exigência.

Resposta

(a)
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+\cdots,
com raio de convergência R=1 e intervalo -1<x\le1.
(b)
Para \ln\bigl(\tfrac32\bigr)=\ln(1+\tfrac12), usam-se N=9 termos, garantindo
|R_9|\le\frac{(1/2)^{10}}{10}\approx9{,}76\times10^{-5}<10^{-4},
e a soma parcial é aproximadamente
0{,}4055323.

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