Questão 12. Treze cartas são escolhidas de um baralho comum de 52 cartas. Se A é o evento “o às de copas está entre as 13 cartas” e B é o evento “as 13 cartas são do mesmo naipe”. Podemos dizer que A e B são independentes?

Passo 1

O enunciado diz que sorteamos 13 cartas de um baralho de 52 sem reposição. Definimos:
A = “o ás de copas está entre as 13 cartas”
B = “as 13 cartas são do mesmo naipe”
O conteúdo é probabilidade clássica. Para testar independência, vamos calcular P(A), P(B) e P(A\cap B) e verificar se
P(A\cap B)\;=\;P(A)\,P(B).

Passo 2

Para achar P(A), contamos o número de mãos que contêm o ás de copas. Primeiro fixamos o ás de copas e escolhemos as outras 12 cartas entre as 51 restantes. Logo, o total de mãos que satisfazem A é
\binom{51}{12},
e o total de mãos possíveis é \binom{52}{13}. Portanto,
P(A) =\frac{\displaystyle\binom{51}{12}}{\displaystyle\binom{52}{13}} =\frac{13}{52} =\tfrac14.

Passo 3

Para achar P(B), notamos que, para as 13 cartas serem do mesmo naipe, há 4 escolhas de naipe e, em cada naipe, só há uma forma de escolher as 13 cartas (todas as do naipe). Assim, o número de mãos favoráveis é 4, e
P(B) =\frac{4}{\displaystyle\binom{52}{13}}.

Passo 4

Para achar P(A\cap B), queremos mãos que sejam todas de um naipe e ainda contenham o ás de copas. O único naipe possível é copas, e a única mão que satisfaz isso é exatamente o naipe de copas completo. Logo, há exatamente 1 mão favorável, e
P(A\cap B) =\frac{1}{\displaystyle\binom{52}{13}}.

Passo 5

Agora comparamos
P(A)\,P(B) =\Bigl(\tfrac14\Bigr)\,\frac{4}{\displaystyle\binom{52}{13}} =\frac{1}{\displaystyle\binom{52}{13}} \;=\;P(A\cap B).
Portanto, vale P(A\cap B)=P(A)P(B), ou seja, A e B são independentes.

Resposta

Sim. As variáveis A e B são independentes.

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