Questão 10. Usando o método da energia, prove a unicidade do problema da difusão com fronteira de Neumann
\begin{cases}u_{t}-k u_{x x}=f(x, t) & 0<x<l \text { e } t>0 \\\ u(x, 0)=\varphi(x) & \\\ u_{x}(0, t)=g(t) \text { e } u_{x}(l, t)=h(t) & \end{cases}

Passo 1

O enunciado dá o problema de difusão com condições de Neumann
\begin{cases} u_{t}-k u_{x x}=f(x, t), & 0<x<l,\\ t>0,\\[4pt] u(x,0)=\varphi(x), & 0\le x\le l,\\[4pt] u_{x}(0,t)=g(t),\quad u_{x}(l,t)=h(t), & t>0. \end{cases}
O que a questão pede é: usando o método da energia, provar que a solução deste problema é única. Ou seja, mostrar que se duas funções u e v satisfazem simultaneamente todas as equações e condições acima com os mesmos dados f,\varphi,g,h, então u\equiv v no domínio 0\le x\le l,\\ t\ge0.
Informações relevantes dadas:
  • Equação diferencial parcial linear de primeira ordem no tempo e segunda ordem no espaço.
  • Coeficiente de difusão k>0 (presumido).
  • Condição inicial u(x,0)=\varphi(x).
  • Condições de borda do tipo Neumann: prescritas as derivadas espaciais nas duas extremidades.
  • Pedido: provar unicidade usando o método da energia (ou seja, construir uma quantidade “energia” que mostre que a diferença entre duas soluções é zero).]

Passo 2

Primeiro passo típico em unicidade: suponha que existam duas soluções u(x,t) e v(x,t) do mesmo problema com os mesmos dados. Defina a diferença
w(x,t):=u(x,t)-v(x,t).
Vou escrever qual problema w satisfaz. Subtraindo as equações para u e v obtemos
w_{t}-k w_{x x}=0\quad\text{para }0<x<l,\\ t>0.
Subtraindo as condições iniciais dá
w(x,0)=\varphi(x)-\varphi(x)=0.
Subtraindo as condições de Neumann (que são iguais para u e v) obtemos
w_{x}(0,t)=g(t)-g(t)=0,\qquad w_{x}(l,t)=h(t)-h(t)=0.
Portanto w satisfaz o problema homogêneo
\begin{cases} w_{t}-k w_{x x}=0, & 0<x<l,\\ t>0,\\[4pt] w(x,0)=0, & 0\le x\le l,\\[4pt] w_{x}(0,t)=0,\quad w_{x}(l,t)=0, & t>0. \end{cases}]

Passo 3

Agora apresento o método da energia: a ideia é medir o “tamanho” da diferença w por uma quantidade não negativa chamada energia. Defino a energia no tempo t como a norma L^{2} de w ao quadrado (multiplicada por 1/2 por conveniência):
E(t):=\frac{1}{2}\int_{0}^{l} w(x,t)^{2}\,dx.
Explicando: E(t) é um número não negativo que mede a energia (ou erro) total no intervalo espacial. Se eu conseguir mostrar que E(t)=0 para todo t\ge0, então w(\cdot,t)=0 quase certamente para todo t, ou seja u=v.

Passo 4

Calculo a derivada temporal de E(t). Como w é (presumivelmente) suficientemente regular, posso derivar sob o sinal de integral:
E'(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\int_{0}^{l}w^{2}\,dx\right)=\int_{0}^{l} w\,w_{t}\,dx.
Aqui usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\bigl(w^{2}/2\bigr)=w\,w_{t}. A troca de derivada e integral é justificada se w e w_{t} forem contínuos o suficiente (hipótese usual para soluções clássicas).

Passo 5

Substituo a equação satisfeita por w, que diz w_{t}=k w_{xx}, na expressão de E'(t):
E'(t)=\int_{0}^{l} w\,(k w_{xx})\,dx = k\int_{0}^{l} w\,w_{xx}\,dx.
Agora uso integração por partes (a versão 1D): para funções suaves w,
\int_{0}^{l} w\,w_{xx}\,dx = \bigl[w\,w_{x}\bigr]_{0}^{l} - \int_{0}^{l} (w_{x})^{2}\,dx.
Explicando essa identidade: escrevendo u=w e v'=w_{xx}, então \int u v' = uv|_{0}^{l} - \int u' v; aqui u'=w_x e v=w_x, daí \int w w_{xx} = w w_x|_0^l - \int (w_x)^2.

Passo 6

Agora aplico as condições de Neumann homogêneas para w: w_{x}(0,t)=0 e w_{x}(l,t)=0. Assim o termo de fronteira \bigl[w\,w_{x}\bigr]_{0}^{l}=w(l,t)w_{x}(l,t)-w(0,t)w_{x}(0,t) desaparece (é zero). Portanto
E'(t)=k\left(0 - \int_{0}^{l} (w_{x})^{2}\,dx\right) = -k\int_{0}^{l} (w_{x})^{2}\,dx.
Como k>0 e o integrando (w_x)^2 é não negativo, segue que
E'(t) = -k\int_{0}^{l} (w_{x})^{2}\,dx \le 0.
Interpretação: a energia é função não crescente do tempo; a taxa de variação é negativa e controlada pelo gradiente espacial de w.

Passo 7

Use a condição inicial w(x,0)=0. Isso implica
E(0)=\frac{1}{2}\int_{0}^{l} w(x,0)^{2}\,dx = 0.
Agora, E(t)\ge0 para todo t por definição (integral de quadrado). Como E(t) é não crescente e começa em zero, a única possibilidade é que
E(t)=0\quad\text{para todo }t\ge0.
Uma forma alternativa e um pouco mais informativa é integrar a identidade de E'(t) em [0,T]:
E(T)-E(0) = -k\int_{0}^{T}\int_{0}^{l} (w_{x}(x,s))^{2}\,dx\,ds.
Como E(0)=0 e E(T)\ge0, o membro da direita é \le0, logo necessariamente
E(T)=0\quad\text{e}\quad \int_{0}^{T}\int_{0}^{l} (w_{x})^{2}\,dx\,ds=0.
Da última igualdade segue que (w_{x})^{2}=0 quase em todo lugar no retângulo considerado, isto é, w_{x}\equiv0. Assim, para cada tempo fixo t, w(\cdot,t) é constante em x. Mas como w(x,0)=0 para todo x, essa constante deve ser zero (pelo contínuo em t ou avaliando em t\to0). Portanto w(x,t)\equiv0 para todos x,t.

Passo 8

Conclusão final: w\equiv0 implica u\equiv v. Assim, as soluções do problema original com os mesmos dados são idênticas — a solução é única.
Observação prática (didática e empática): a receita principal do método da energia aqui foi escolher a energia natural \frac{1}{2}\int w^{2}, derivá-la no tempo, usar a equação para substituir w_{t}, integrar por partes e usar as condições de Neumann para eliminar os termos de fronteira. O sinal negativo que aparece mostra dissipação (energia decresce), e o fato de começar em zero força a energia a permanecer zero. Esse mesmo esquema funciona para muitos problemas parciais lineares de tipo difusivo.

Resposta

A solução é única: se u e v são duas soluções com os mesmos dados então u\equiv v em 0\le x\le l,\\ t\ge0.

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