Questão 8. Seja u solução da equação da difusão
. Seja
Mostre que
satisfaz a equação da difusão
, conhecida por “backward diffusion”.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há uma função
que é solução da equação da difusão “forward”
- Define-se
pela fórmula
Observação importante: o enunciado original escreveu
no lado direito da definição; isso tornaria a definição auto-referencial. Vou assumir (como é o costume nessas transformações de simetria da equação do calor) que o fator composto usa
, isto é, a definição correta é a escrita acima com
.
O que se pede: mostrar que a função assim definida satisfaz a equação da “backward diffusion”
O que se pede: mostrar que a função
Passo 2
Para organizar a notação e aplicar a regra da cadeia com clareza, introduzo
e escrevo a composição como
onde
Vou calcular
e
aplicando produto e regra da cadeia. A regra da cadeia usada é: se
depende de
e
dependem de
, então
e assim por diante.
Passo 3
Calculo as derivadas das variáveis de composição:
Derivando,
Ou resumindo em termos de
e
:
Passo 4
Calculo as derivadas do fator
. É conveniente usar
e escrever
. Então
Para
uso
com
. Primeiro
logo
Em termos de
isso é equivalente a
mas vou manter
para clareza.
Passo 5
Calculo
e
. Usando
e a regra da cadeia:
Substituindo
e
,
Agora derivo novamente em
:
Calculo cada termo:
e, lembrando que
depende de
apenas via
com
,
Somando e multiplicando por
,
Agrupando fatores e fatorando
,
Passo 6
Calculo
aplicando produto e cadeia:
Substituo
(porque
) e
:
Agora uso a equação de
(a qual é
na nova notação):
Assim
Também substituo a expressão de
obtida no Passo 4,
. Portanto
Coloco tudo sob um mesmo fator
:
Compare com a expressão de
do Passo 5,
Logo
Passo 7
Conclui-se que a função
definida por
satisface a equação da “backward diffusion”