Questão 8. Seja u solução da equação da difusão u_{t}=\frac{1}{2} u_{x x}. Seja
v(x, t)=\frac{1}{\sqrt{t}} e^{x^{2} / 2 t} v\left(\frac{x}{t}, \frac{1}{t}\right)
Mostre que v satisfaz a equação da difusão v_{t}=-\frac{1}{2} v_{x x}, conhecida por “backward diffusion”.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há uma função u(y,s) que é solução da equação da difusão “forward”
u_{s}=\tfrac{1}{2}u_{yy}.
  • Define-se v(x,t) pela fórmula
v(x,t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\,e^{\frac{x^{2}}{2t}}\;u\!\left(\frac{x}{t},\frac{1}{t}\right).
Observação importante: o enunciado original escreveu v no lado direito da definição; isso tornaria a definição auto-referencial. Vou assumir (como é o costume nessas transformações de simetria da equação do calor) que o fator composto usa u, isto é, a definição correta é a escrita acima com u.
O que se pede: mostrar que a função v assim definida satisfaz a equação da “backward diffusion”
v_{t}=-\tfrac{1}{2}v_{xx}.

Passo 2

Para organizar a notação e aplicar a regra da cadeia com clareza, introduzo
y=\frac{x}{t},\qquad s=\frac{1}{t},
e escrevo a composição como
w(y,s):=u(y,s), \qquad v(x,t)=A(x,t)\,w(y,s),
onde
A(x,t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\,e^{\frac{x^{2}}{2t}}.
Vou calcular v_{t} e v_{xx} aplicando produto e regra da cadeia. A regra da cadeia usada é: se w depende de (y,s) e (y,s) dependem de (x,t), então
\frac{\partial}{\partial t}w(y(x,t),s(t))=w_{y}\,y_{t}+w_{s}\,s_{t}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}w(y(x,t),s(t))=w_{y}\,y_{x},
e assim por diante.

Passo 3

Calculo as derivadas das variáveis de composição:
y=\frac{x}{t}=x s,\qquad s=\frac{1}{t}.
Derivando,
y_{x}=s,\qquad y_{t}=x s_{t}=x\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{t}\right)=x(-t^{-2})=-x t^{-2}=-y s,
s_{t}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{1}{t^{2}}=-s^{2}.
Ou resumindo em termos de s e y:
y_{x}=s,\qquad y_{t}=-y s,\qquad s_{t}=-s^{2}.

Passo 4

Calculo as derivadas do fator A(x,t). É conveniente usar s=1/t e escrever A(x,t)=s^{1/2}e^{\frac{x^{2}s}{2}}. Então
A_{x}=A\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x^{2}s}{2}\right)=A\cdot x s,
A_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(A x s)=A_x x s + A s = A(x s)(x s)+A s = A s\big(1+x^{2}s\big).
Para A_{t} uso A_{t}=A_{s}s_{t} com s_{t}=-s^{2}. Primeiro
\frac{A_{s}}{A}=\frac{1}{2}s^{-1}+\frac{x^{2}}{2},
logo
A_{t}=A_{s}s_{t}=A\Big(\tfrac{1}{2}s^{-1}+\tfrac{x^{2}}{2}\Big)(-s^{2})=A\Big(-\tfrac{s}{2}-\tfrac{x^{2}s^{2}}{2}\Big).
Em termos de t isso é equivalente a
A_{t}=A\Big(-\tfrac{1}{2t}-\tfrac{x^{2}}{2t^{2}}\Big),
mas vou manter s para clareza.

Passo 5

Calculo v_{x} e v_{xx}. Usando v=A w e a regra da cadeia:
v_{x}=A_{x}w + A w_{y} y_{x}.
Substituindo A_{x}=A x s e y_{x}=s,
v_{x}=A x s\,w + A s\,w_{y}=A s\big(x w + w_{y}\big).
Agora derivo novamente em x:
v_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big[ A s(x w + w_{y})\big] = s\big[A_{x}(x w + w_{y}) + A\frac{\partial}{\partial x}(x w + w_{y})\big].
Calculo cada termo:
A_{x}(x w + w_{y})=A x s (x w + w_{y})=A s\big(x^{2}w + x w_{y}\big),
e, lembrando que w depende de x apenas via y com y_{x}=s,
\frac{\partial}{\partial x}(x w + w_{y})=w + x(w_{y}y_{x}) + w_{yy}y_{x} = w + x s w_{y} + s w_{yy}.
Somando e multiplicando por s,
v_{xx}=s\Big[A s\big(x^{2}w + x w_{y}\big) + A\big(w + x s w_{y} + s w_{yy}\big)\Big].
Agrupando fatores e fatorando A,
v_{xx}=A\big[ s w + s^{2}x^{2}w + 2s^{2}x w_{y} + s^{2}w_{yy}\big].

Passo 6

Calculo v_{t} aplicando produto e cadeia:
v_{t}=A_{t}w + A\big(w_{y}y_{t}+w_{s}s_{t}\big).
Substituo y_{t}=-y s=-x s^{2} (porque y=x s) e s_{t}=-s^{2}:
v_{t}=A_{t}w - A x s^{2} w_{y} - A s^{2} w_{s}.
Agora uso a equação de u (a qual é w na nova notação): \;w_{s}=\tfrac{1}{2}w_{yy}. Assim
v_{t}=A_{t}w - A x s^{2} w_{y} - A s^{2}\cdot\tfrac{1}{2}w_{yy}.
Também substituo a expressão de A_{t} obtida no Passo 4, A_{t}=A\big(-\tfrac{s}{2}-\tfrac{x^{2}s^{2}}{2}\big). Portanto
v_{t}=A\Big(-\tfrac{s}{2}-\tfrac{x^{2}s^{2}}{2}\Big)w - A x s^{2} w_{y} - \tfrac{A}{2}s^{2}w_{yy}.
Coloco tudo sob um mesmo fator -\tfrac{A}{2}:
v_{t}=-\tfrac{A}{2}\big[ s w + s^{2}x^{2}w + 2s^{2}x w_{y} + s^{2}w_{yy}\big].
Compare com a expressão de v_{xx} do Passo 5,
v_{xx}=A\big[ s w + s^{2}x^{2}w + 2s^{2}x w_{y} + s^{2}w_{yy}\big].
Logo
v_{t}=-\tfrac{1}{2}v_{xx}.

Passo 7

Conclui-se que a função v definida por
v(x,t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\,e^{\frac{x^{2}}{2t}}\,u\!\left(\frac{x}{t},\frac{1}{t}\right)
satisface a equação da “backward diffusion”
v_{t}=-\tfrac{1}{2}v_{xx}.

Resposta

v_{t}=-\tfrac{1}{2}v_{xx}

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