Questão 12. Considere a equação da difusão u_{t}=u_{x x}, no intervalo (0,1) \operatorname{com} u(0, t)=0= u(1, t) e u(x, 0)=1-x^{2}.
(a) Mostre que u(x, t)>0, para todos pontos interiores 0<x<1 e 0<t<\infty. (Dica:use o princípio do mínimo)
(b) Para t>0, seja \mu(t)= máximo de u(x, t) em 0 \leq x \leq 1. Mostre que \mu(t) é uma função não-crescente em t. (Dica: Se X(t) é ponto de máximo, mostre que \mu(t)=u(X(t), t) é não-crescente)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: a solução u(x,t) satisfaz a equação da difusão
u_{t}=u_{x x},
no intervalo espacial 0<x<1 e para t>0, com condições de contorno
u(0,t)=0,\qquad u(1,t)=0\quad\text{para }t\ge0,
e condição inicial
u(x,0)=1-x^{2}\quad\text{para }0\le x\le1.
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que u(x,t)>0 para todos os pontos interiores 0<x<1 e todos t>0.
    (b) Para t>0, seja \mu(t)=\max_{0\le x\le1}u(x,t). Mostrar que \mu(t) é uma função não-crescente em t (isto é, \mu'(t)\le0 onde existir ou, em linguagem mais simples, \mu(t_2)\le\mu(t_1) sempre que t_2>t_1).

Passo 2

Ideia e ferramenta principal (explicada de forma didática): princípio do mínimo / máximo para a equação do calor.
  • Intuição rápida: para a equação u_t-u_{xx}=0 (a equação do calor), os valores extremos “não aparecem do nada” no interior do domínio parabolicamente; qualquer mínimo (ou máximo) que seja estrito deve ocorrer na fronteira espacial ou no tempo inicial, a não ser que a solução seja trivialmente constante. Isso é o conteúdo do princípio do mínimo/máximo (e do princípio forte).
  • Como usar essa ideia sem entrar em teoremas muito técnicos: se uma função suave tem um mínimo interno em (x_0,t_0) com t_0>0, então localmente em x a derivada espacial primeira é zero e a segunda derivada espacial é não-negativa; também a derivada temporal naquele ponto é não-positiva (porque o valor no instante seguinte não pode ser menor que o mínimo). Aplicando a equação, obtém-se uma contradição a menos que a função seja constante. Vou usar essa observação para concluir (a).

Passo 3

Provar primeiro que u\ge0 no cilindro parabolico (fecho de (0,1)\times(0,\infty)).
  • Observação sobre os dados: na fronteira parabolica (isto é, no conjunto composto pelo tempo inicial t=0 para 0\le x\le1 e pelas paredes espaciais x=0 e x=1 para t\ge0) os valores dados satisfazem u(x,0)=1-x^{2}\ge0\quad(0\le x\le1),\qquad u(0,t)=0,\\ u(1,t)=0\\ (t\ge0).Logo o mínimo dos dados na fronteira parabolica é \ge0.
  • Aplicando o princípio do mínimo (forma fraca): se u resolvesse u_t-u_{xx}=0 e tivesse um ponto interior onde fosse negativo, então esse ponto seria um mínimo estrito interior. Nesse ponto teríamos u_t\le0 e u_{xx}\ge0, então pela equação u_t=u_{xx}\ge0, o que implica u_t=0 e u_{xx}=0 naquele ponto; analisando mais a fundo (princípio forte) isto força a solução a ser constante numa região, contradizendo os dados iniciais que não são todos iguais a esse valor negativo. Portanto não pode haver valor negativo no interior. Conclusão: u(x,t)\ge0\quad\text{para }0\le x\le1,\\ t\ge0.

Passo 4

Elevar a desigualdade para positividade estrita no interior para t>0.
  • Note que na condição inicial u(x,0)=1-x^{2} temos u(x,0)>0 para todo 0<x<1 (só se anula em x=1 e é 1 em x=0). Nas paredes espaciais para t>0 temos u(0,t)=u(1,t)=0.
  • Suponha, para obter contradição, que exista (x_0,t_0) com 0<x_0<1 e t_0>0 tal que u(x_0,t_0)=0. Já sabemos por Passo 3 que u\ge0, então esse ponto é um mínimo global não-positivo. Pelo princípio forte do máximo/mínimo para a equação do calor, se uma solução não-negativa atinge o valor zero em um ponto interior com t_0>0, então a solução é identicamente zero numa região que propaga para trás no tempo; em particular, seria forçada a coincidir com zero na inicial para pontos próximos, o que contradiz u(x,0)=1-x^{2}>0 em pontos interiores. Logo essa hipótese é impossível.
  • Conclusão imediata: para todo t>0 e todo 0<x<1 tem-se u(x,t)>0.
  • Observação prática: a ideia é que o calor “espalha” e não cria novos pontos nulos no interior se a condição inicial é estritamente positiva lá; o zero nas fronteiras não “invade” o interior instantaneamente.

Passo 5

Preparação para (b): existência do máximo \mu(t) e localização do ponto de máximo.
  • Para cada t\ge0, a função x\mapsto u(x,t) é contínua em [0,1], logo atinge máximo; defina \mu(t)=\max_{0\le x\le1}u(x,t),e escolha X(t)\in[0,1] tal que \mu(t)=u(X(t),t).
  • Para t>0 já sabemos do Passo 4 que u(x,t)>0 para 0<x<1 e nas paredes u(0,t)=u(1,t)=0. Assim o máximo para t>0 não pode ocorrer na fronteira espacial (porque lá o valor é 0 e interiormente os valores são positivos). Logo, para todo t>0 podemos escolher X(t)\in(0,1) (um ponto interior) alcançando o máximo.

Passo 6

Calcular a variação temporal de \mu(t) no ponto de máximo interior e concluir que \mu é não-crescente.
  • Como X(t) é um ponto de máximo espacial de x\mapsto u(x,t) e pertence ao interior (0,1), temos condições usuais de um extremo espacial: u_x(X(t),t)=0,\qquad u_{xx}(X(t),t)\le0.
  • Diferenciando \mu(t)=u(X(t),t) em t usando a regra da cadeia (informalmente, assumindo regularidade suficiente; isso é legítimo para soluções clássicas), \mu'(t)=\frac{d}{dt}u(X(t),t)=u_{t}(X(t),t)+u_{x}(X(t),t)\,X'(t).Mas no ponto de máximo interior temos u_{x}(X(t),t)=0, então o termo com X'(t) some e sobra \mu'(t)=u_{t}(X(t),t).
  • Usando a equação u_{t}=u_{xx} e a desigualdade da segunda derivada no máximo espacial, \mu'(t)=u_{xx}(X(t),t)\le0.Logo \mu'(t)\le0 sempre que a derivada existir; em linguagem mais fraca isto significa que \mu é não-crescente (se houver múltiplos pontos de máximo escolhe-se qualquer um deles: em todos os máximos interiores a mesma desigualdade vale).
  • Comentário sobre rigor: se houver pontos de máximo que mudam de lugar de forma não suave, a desigualdade \mu(t_2)\le\mu(t_1) para t_2>t_1 ainda pode ser obtida usando argumentos por comparação (por exemplo comparar u(\cdot,t_2) com solução avançada a partir de u(\cdot,t_1)), mas a ideia central e prática para a prova de prova é a observação local acima: no ponto de máximo interior u_t\le0.

Passo 7

Conclusões finais e moral (estímulo).
  • Assim, com o princípio do mínimo/máximo e a observação sobre derivadas no ponto de máximo, chegamos às duas propriedades pedidas.
  • Força aí! O raciocínio é padrão: mostrar não-negatividade pelo princípio do mínimo e depois usar que no máximo espacial a curvatura espacial é negativa para ver que o valor máximo não cresce no tempo.

Resposta

(a) u(x,t)>0 para todo 0<x<1 e todo t>0.
(b) \mu(t)=\max_{0\le x\le1}u(x,t) é não-crescente em t (isto é, \mu'(t)\le0 onde existir, e \mu(t_2)\le\mu(t_1) para t_2>t_1).

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