Questão 12. Considere a equação da difusão
, no intervalo
e
.
(a) Mostre que
, para todos pontos interiores
e
. (Dica:use o princípio do mínimo)
(b) Para
, seja
máximo de
em
. Mostre que
é uma função não-crescente em t. (Dica: Se
é ponto de máximo, mostre que
é não-crescente)
(a) Mostre que
(b) Para
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados: a solução
satisfaz a equação da difusão
no intervalo espacial
e para
, com condições de contorno
e condição inicial
- Perguntas:
(a) Mostrar quepara todos os pontos interiores e todos .
(b) Para, seja . Mostrar que é uma função não-crescente em (isto é, onde existir ou, em linguagem mais simples, sempre que ).
Passo 2
Ideia e ferramenta principal (explicada de forma didática): princípio do mínimo / máximo para a equação do calor.
- Intuição rápida: para a equação
(a equação do calor), os valores extremos “não aparecem do nada” no interior do domínio parabolicamente; qualquer mínimo (ou máximo) que seja estrito deve ocorrer na fronteira espacial ou no tempo inicial, a não ser que a solução seja trivialmente constante. Isso é o conteúdo do princípio do mínimo/máximo (e do princípio forte). - Como usar essa ideia sem entrar em teoremas muito técnicos: se uma função suave tem um mínimo interno em
com , então localmente em a derivada espacial primeira é zero e a segunda derivada espacial é não-negativa; também a derivada temporal naquele ponto é não-positiva (porque o valor no instante seguinte não pode ser menor que o mínimo). Aplicando a equação, obtém-se uma contradição a menos que a função seja constante. Vou usar essa observação para concluir (a).
Passo 3
Provar primeiro que
no cilindro parabolico (fecho de
).
- Observação sobre os dados: na fronteira parabolica (isto é, no conjunto composto pelo tempo inicial
para e pelas paredes espaciais e para ) os valores dados satisfazem Logo o mínimo dos dados na fronteira parabolica é . - Aplicando o princípio do mínimo (forma fraca): se
resolvesse e tivesse um ponto interior onde fosse negativo, então esse ponto seria um mínimo estrito interior. Nesse ponto teríamos e , então pela equação , o que implica e naquele ponto; analisando mais a fundo (princípio forte) isto força a solução a ser constante numa região, contradizendo os dados iniciais que não são todos iguais a esse valor negativo. Portanto não pode haver valor negativo no interior. Conclusão:
Passo 4
Elevar a desigualdade para positividade estrita no interior para
.
- Note que na condição inicial
temos para todo (só se anula em e é 1 em ). Nas paredes espaciais para temos . - Suponha, para obter contradição, que exista
com e tal que . Já sabemos por Passo 3 que , então esse ponto é um mínimo global não-positivo. Pelo princípio forte do máximo/mínimo para a equação do calor, se uma solução não-negativa atinge o valor zero em um ponto interior com , então a solução é identicamente zero numa região que propaga para trás no tempo; em particular, seria forçada a coincidir com zero na inicial para pontos próximos, o que contradiz em pontos interiores. Logo essa hipótese é impossível. - Conclusão imediata: para todo
e todo tem-se - Observação prática: a ideia é que o calor “espalha” e não cria novos pontos nulos no interior se a condição inicial é estritamente positiva lá; o zero nas fronteiras não “invade” o interior instantaneamente.
Passo 5
Preparação para (b): existência do máximo
e localização do ponto de máximo.
- Para cada
, a função é contínua em , logo atinge máximo; defina e escolha tal que . - Para
já sabemos do Passo 4 que para e nas paredes . Assim o máximo para não pode ocorrer na fronteira espacial (porque lá o valor é 0 e interiormente os valores são positivos). Logo, para todo podemos escolher (um ponto interior) alcançando o máximo.
Passo 6
Calcular a variação temporal de
no ponto de máximo interior e concluir que
é não-crescente.
- Como
é um ponto de máximo espacial de e pertence ao interior , temos condições usuais de um extremo espacial: - Diferenciando
em usando a regra da cadeia (informalmente, assumindo regularidade suficiente; isso é legítimo para soluções clássicas), Mas no ponto de máximo interior temos , então o termo com some e sobra - Usando a equação
e a desigualdade da segunda derivada no máximo espacial, Logo sempre que a derivada existir; em linguagem mais fraca isto significa que é não-crescente (se houver múltiplos pontos de máximo escolhe-se qualquer um deles: em todos os máximos interiores a mesma desigualdade vale). - Comentário sobre rigor: se houver pontos de máximo que mudam de lugar de forma não suave, a desigualdade
para ainda pode ser obtida usando argumentos por comparação (por exemplo comparar com solução avançada a partir de ), mas a ideia central e prática para a prova de prova é a observação local acima: no ponto de máximo interior .
Passo 7
Conclusões finais e moral (estímulo).
- Assim, com o princípio do mínimo/máximo e a observação sobre derivadas no ponto de máximo, chegamos às duas propriedades pedidas.
- Força aí! O raciocínio é padrão: mostrar não-negatividade pelo princípio do mínimo e depois usar que no máximo espacial a curvatura espacial é negativa para ver que o valor máximo não cresce no tempo.
Resposta
(a)
para todo
e todo
.
(b) é não-crescente em
(isto é,
onde existir, e
para
).
(b)