Questão 10. Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
(quatro casas decimais)
Passo 1
O enunciado nos pede para aproximar com quatro casas decimais a integral
O conteúdo principal aqui é usar a série de Taylor (Maclaurin) de
, multiplicar por
, integrar termo a termo e depois usar o Critério do Restante Alternante para estimar o erro.
Passo 2
Começamos da série de Maclaurin de
:
Multiplicando por
obtemos
Passo 3
Integramos termo a termo de
a
:
Como
segue
Passo 4
Trata-se de uma série alternante cujos termos em módulo são
monotonamente decrescentes para
. Pelo Critério do Restante Alternante, o erro ao truncar após o termo
é menor que
. Queremos erro
(metade da unidade na quarta casa decimal).
Passo 5
Calculamos os primeiros termos:
:
Como
, basta somar
e
.
O somatório parcial é
O somatório parcial é
E o erro
, garantindo quatro casas.