Questão 10. Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
integral0^1 / 2 x^3 arctan (x) d x (quatro casas decimais)

Passo 1

O enunciado nos pede para aproximar com quatro casas decimais a integral
I = integral0^1/2 x^3,arctan(x),dx
O conteúdo principal aqui é usar a série de Taylor (Maclaurin) de arctan(x), multiplicar por x^3, integrar termo a termo e depois usar o Critério do Restante Alternante para estimar o erro.

Passo 2

Começamos da série de Maclaurin de arctan(x):
arctan(x) = sumn=0^infty (-1)^n,x^2n+12n+1, |x|<=1
Multiplicando por x^3 obtemos
x^3,arctan(x) = sumn=0^infty (-1)^n,x^2n+42n+1

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a 1/2:
I = integral0^1/2 x^3arctan(x),dx = sumn=0^infty (-1)^n,12n+1 integral0^1/2 x^2n+4,dx
Como
integral0^1/2 x^2n+4,dx = (1/2)^2n+52n+5,
segue
I = sumn=0^infty (-1)^n,(1/2)^2n+5(2n+1)(2n+5)

Passo 4

Trata-se de uma série alternante cujos termos em módulo são
an = (1/2)^2n+5(2n+1)(2n+5),
monotonamente decrescentes para n>=0. Pelo Critério do Restante Alternante, o erro ao truncar após o termo n=N é menor que aN+1. Queremos erro <5times10^-5 (metade da unidade na quarta casa decimal).

Passo 5

Calculamos os primeiros termos:
n=0:
T0 = a0 = (1/2)^51cdot5 = 132cdot5 = 1160 = 0,00625
n=1:
T1 = -,a1 = -,(1/2)^73cdot7 = -,1128cdot21 = -,12688approx -0,0003720
n=2:
a2 = (1/2)^95cdot9 = 1512cdot45 = 123040approx 0,0000434
Como a2approx4,34times10^-5<5times10^-5, basta somar T0 e T1.
O somatório parcial é
S1 = T0 + T1 = 0,00625 - 0,0003720 = 0,0058780
E o erro |I - S1|<a2<5times10^-5, garantindo quatro casas.

Resposta

Iapprox0,0059 (quatro casas decimais).

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