Questão 10: Utilizando a Lei de Gauss e o princípio da superposição, calcule o campo elétrico devido a três placas paralelas colocadas ao longo de um eixo x nas posições x=0, x=a e x=b cujas densidades superficiais de cargas são sigma1, sigma2 e sigma3, nas seguintes regiões: (a) 0 <= x <= a; (b) a <= x <= b; e (c) b <= x <= infty.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico gerado por três placas infinitas e paralelas, localizadas em x=0, x=a e x=b, com densidades superficiais sigma1, sigma2 e sigma3. Vamos usar a Lei de Gauss para placas planas infinitas e o princípio da superposição de campos.

Passo 2

De acordo com a Lei de Gauss, o campo elétrico produzido por uma única placa infinita com densidade superficial sigma é
Eplaca = sigma2,epsilon0
em módulo, apontando para longe da placa se sigma>0, e no sentido oposto se sigma<0.

Passo 3

Para a placa em x=0 (densidade sigma1):
  • Para x>0, o campo é E1 = +sigma12epsilon0,x
  • Para x<0, seria E1 = -tfracsigma12epsilon0,x, mas esta região não nos interessa.

Passo 4

Para a placa em x=a (densidade sigma2):
  • Para x>a, E2 = +sigma22epsilon0,x
  • Para x<a, E2 = -sigma22epsilon0,x

Passo 5

Para a placa em x=b (densidade sigma3):
  • Para x>b, E3 = +sigma32epsilon0,x
  • Para x<b, E3 = -sigma32epsilon0,x

Passo 6

Na região 0 < x < a cada placa contribui com
E1 = +sigma12epsilon0,x, E2 = -sigma22epsilon0,x, E3 = -sigma32epsilon0,x
Pela superposição,
E = E1+E2+E3 = sigma1-sigma2-sigma32epsilon0,x

Passo 7

Na região a < x < b temos
E1 = +sigma12epsilon0,x, E2 = +sigma22epsilon0,x, E3 = -sigma32epsilon0,x,
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E = sigma1+sigma2-sigma32epsilon0,x

Passo 8

Na região x > b todas as contribuições são positivas:
E1 = +sigma12epsilon0,x, E2 = +sigma22epsilon0,x, E3 = +sigma32epsilon0,x,
resultando em
E = sigma1+sigma2+sigma32epsilon0,x

Resposta

Para as três regiões, o campo elétrico é:
(a) 0 <= x <= a:
E = sigma1-sigma2-sigma32epsilon0,x
(b) a <= x <= b:
E = sigma1+sigma2-sigma32epsilon0,x
(c) b <= x < infty:
E = sigma1+sigma2+sigma32epsilon0,x

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