Questão 9: Mostre que, a partir da equação nabla cdot E=rho / epsilon0, pode-se chegar a Lei de Coulomb.

Passo 1

O enunciado parte da equação de Maxwell–Gauss na forma diferencial,
nablacdotE=rhoepsilon0,
e pede para mostrar que disso se obtém a Lei de Coulomb, ou seja, o campo elétrico de uma carga pontual no vácuo
E(r)=14piepsilon0qr^2r
O conteúdo é eletrostática e vamos precisar do teorema da divergência (Gauss) e de argumentos de simetria esférica.

Passo 2

Integramos ambos os lados de nablacdotE=rho/epsilon0 sobre um volume V qualquer e aplicamos o teorema da divergência:
integralVnablacdotE,dV =ointpartial VEcdot dA e integralVrhoepsilon0,dV =1epsilon0integralVrho,dV
Logo,
ointpartial VEcdot dA =1epsilon0integralVrho,dV

Passo 3

Para uma carga pontual q no origem, a densidade é
rho(r)=q,de<a^(3)(r),
de modo que
integralVrho,dV=q
se o volume V envolver a origem, e zero caso contrário. Portanto para uma superfície fechada S que envolve a carga,
ointSEcdot dA=qepsilon0

Passo 4

Pela simetria esférica o campo só pode ser radial e com módulo dependente só de r:
E(r)=E(r),r
Se escolhemos S como a esfera de raio r, então dA=r^2sintheta,dtheta,dphi,r e
ointSEcdot dA =E(r),ointSrcdotr,dA =E(r),4pi r^2

Passo 5

Igualando o resultado da integral de superfície ao valor q/epsilon0 temos
E(r),4pi r^2=qepsilon0 Longrightarrow E(r)=q4piepsilon0,r^2

Passo 6

Voltando à forma vetorial, o campo elétrico de uma carga pontual q no vácuo fica
boxedE(r) =14piepsilon0qr^2;r,
que é exatamente a Lei de Coulomb.

Resposta

E(r)=14piepsilon0qr^2r.

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