Questão 9: Mostre que, a partir da equação
, pode-se chegar a Lei de Coulomb.
Passo 1
O enunciado parte da equação de Maxwell–Gauss na forma diferencial,
e pede para mostrar que disso se obtém a Lei de Coulomb, ou seja, o campo elétrico de uma carga pontual no vácuo
O conteúdo é eletrostática e vamos precisar do teorema da divergência (Gauss) e de argumentos de simetria esférica.
Passo 2
Integramos ambos os lados de
sobre um volume
qualquer e aplicamos o teorema da divergência:
Logo,
Passo 3
Para uma carga pontual
no origem, a densidade é
de modo que
se o volume
envolver a origem, e zero caso contrário. Portanto para uma superfície fechada
que envolve a carga,
Passo 4
Pela simetria esférica o campo só pode ser radial e com módulo dependente só de
:
Se escolhemos
como a esfera de raio
, então
e
Passo 5
Igualando o resultado da integral de superfície ao valor
temos
Passo 6
Voltando à forma vetorial, o campo elétrico de uma carga pontual
no vácuo fica
que é exatamente a Lei de Coulomb.