Questão 12: Considere uma esfera de raio
carregada com carga positiva cuja densidade volumétrica de cargas depende somente sobre a distância
de separação do seu centro como
, sendo
uma constante. Encontre:
(a) A magnitude do campo elétrico como função de
numa região interior e exterior a esfera;
(b) A intensidade máxima
do campo elétrico e a sua distância
correspondente.
(a) A magnitude do campo elétrico como função de
(b) A intensidade máxima
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera de raio
com densidade volumétrica de carga
que depende só da distância
ao centro. Pede-se (a) o campo elétrico
no interior (
) e no exterior (
) da esfera e (b) o valor máximo de
e onde ele ocorre. Vamos usar a Lei de Gauss, que diz
onde
é a carga contida em um raio
.
Passo 2
Calcular a carga contida até um raio
:
Passo 3
Aplicando Gauss num cilindro esférico de raio
, o campo é radial e uniforme na superfície, então
Substituindo
fica
Passo 4
Para
, toda a carga da esfera está contida, ou seja
Pela Lei de Gauss, para
Passo 5
Para achar o máximo de
no interior (
), derivamos
e igualamos a zero:
Como a segunda derivada é negativa, esse ponto é de máximo.
Passo 6
Substituindo
em
:
Resposta
(a) Para
:
Para
:
(b)