Questão 12: Considere uma esfera de raio R carregada com carga positiva cuja densidade volumétrica de cargas depende somente sobre a distância r de separação do seu centro como rho=rho0(1-r / R), sendo rho0 uma constante. Encontre:
(a) A magnitude do campo elétrico como função de r numa região interior e exterior a esfera;
(b) A intensidade máxima E max do campo elétrico e a sua distância r max correspondente.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera de raio R com densidade volumétrica de carga
rho(r)=rho0l(1-rRr)
que depende só da distância r ao centro. Pede-se (a) o campo elétrico E(r) no interior ( r<= R) e no exterior ( r>= R) da esfera e (b) o valor máximo de E(r) e onde ele ocorre. Vamos usar a Lei de Gauss, que diz
oint S Ecdot d A = Qrm intvarepsilon0,
onde Qrm int é a carga contida em um raio r.

Passo 2

Calcular a carga contida até um raio r<= R:
Qrm int(r) = integral0^rrho(r'),4pi r'^2dr' =4pirho0integral0^rl(1-r'Rr)r'^2dr' =4pirho0l[r^33-r^44Rr]

Passo 3

Aplicando Gauss num cilindro esférico de raio r<= R, o campo é radial e uniforme na superfície, então
E(r),4pi r^2 =Qrm int(r)varepsilon0 Longrightarrow E(r)=14pivarepsilon0Qrm int(r)r^2
Substituindo Qrm int(r) fica
E(r) =rho0varepsilon0l(r3-r^24Rr), r<= R

Passo 4

Para r>= R, toda a carga da esfera está contida, ou seja
Qrm tot=Qrm int(R) =4pirho0l[R^33-R^44Rr] =4pirho0R^3l(13-14r) =pirho0R^33
Pela Lei de Gauss, para r>= R
E(r),4pi r^2 =Qrm totvarepsilon0 Longrightarrow E(r) =14pivarepsilon0Qrm totr^2 =rho0R^312varepsilon0r^2

Passo 5

Para achar o máximo de E(r) no interior ( 0<= r<= R), derivamos
E(r)=rho0varepsilon0l(r3-r^24Rr) Longrightarrow dEdr =rho0varepsilon0l(13-r2Rr)
e igualamos a zero:
13-r2R=0 ;Longrightarrow; rmax=2R3
Como a segunda derivada é negativa, esse ponto é de máximo.

Passo 6

Substituindo rmax=2R/3 em E(r):
Emax =rho0varepsilon0l(2R/33-(2R/3)^24Rr) =rho0varepsilon0l(2R9-4R^2/94Rr) =rho0R9varepsilon0

Resposta

(a) Para r<= R:
E(r)=rho0varepsilon0l(r3-r^24Rr)
Para r>= R:
E(r)=rho0R^312varepsilon0r^2
(b)
rmax=2R3, Emax=rho0R9varepsilon0

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