Questão 10. Utilize os resultados anteriores para provar:
(A multiplicação preserva a ordem) Se
e
é positivo, prove que
.
(A multiplicação preserva a ordem) Se
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que está sendo pedido):
- Dados
e . - Provar que
.
Informações relevantes fornecidas:
- A desigualdade inicial é
. - A constante multiplicativa é positiva:
.
Passo 2
Vou lembrar — e explicar — os resultados/propriedades que vou usar (cada uma com uma mini-aula curta):
- (Preservação da desigualdade pela soma) Se
então, para qualquer , vale .
Explicação: somar o mesmo número nos dois lados não altera quem é maior; isso é uma propriedade básica da ordem nos números reais. - (Inverso aditivo) Para qualquer número
existe um tal que .
Explicação: isso permite “subtrair” um mesmo número dos dois lados transformando em soma com o inverso. - (Produto de positivos é positivo) Se
e então .
Explicação: isto é um resultado padrão que costuma ser provado a partir dos axiomas de corpo ordenado; intuitivamente, multiplicar duas quantidades positivas dá positivo. - (Distributividade) Para quaisquer
vale .
Explicação: é a distributividade da multiplicação sobre a subtração (que é soma com inverso). - (Preservação da desigualdade pela adição novamente) Se
então, adicionando aos dois lados de uma desigualdade, a ordem é preservada.
Vou usar essas propriedades em sequência para construir a prova. Se alguma delas parecia estranha, dá para ver exemplos numéricos: por exemplo, com
,
,
temos
e
; então
, mostrando o que se quer provar.
Passo 3
Transformar a desigualdade inicial numa forma que facilite multiplicar: a partir de
subtraio
dos dois lados. Usando o inverso aditivo e a preservação da desigualdade pela soma, obtemos
Detalhe das operações: somar
a ambos os lados dá
, isto é
, logo
.
Passo 4
Agora multiplico a desigualdade
pelo número positivo
. Pelo resultado “produto de positivos é positivo”, o produto é positivo:
Aqui uso explicitamente que tanto
quanto
, portanto
.
Passo 5
Aplicar a distributividade para escrever
de outra forma. Pela distributividade:
Isso é válido porque subtração é soma com inverso, e a multiplicação distribui sobre a soma.
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores: de
e
segue
Agora adiciono
aos dois lados da desigualdade. Usando novamente que somar um mesmo número preserva a desigualdade, obtenho
Reescrevendo, isto é exatamente
Passo 7
Interpretação intuitiva e encorajamento: a ideia essencial foi transformar
em
, multiplicar essa diferença positiva por
(mantendo o sinal positivo), e então usar distributividade para ver que essa positividade equivale a
, isto é
. Tudo isso segue de propriedades básicas da ordem, soma e produto. Se algo parecer abstrato, teste com números concretos para sentir a mecânica: funciona sempre do mesmo jeito.