Questão 10. Utilize os resultados anteriores para provar:
(A multiplicação preserva a ordem) Se a<b e c é positivo, prove que a \cdot c<b \cdot c.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que está sendo pedido):
  • Dados \,a<b e \,c>0.
  • Provar que \,a\cdot c < b\cdot c.
Informações relevantes fornecidas:
  • A desigualdade inicial é \,a<b.
  • A constante multiplicativa é positiva: \,c>0.

Passo 2

Vou lembrar — e explicar — os resultados/propriedades que vou usar (cada uma com uma mini-aula curta):
  • (Preservação da desigualdade pela soma) Se \,x<y então, para qualquer z, vale \,x+z<y+z.
    Explicação: somar o mesmo número nos dois lados não altera quem é maior; isso é uma propriedade básica da ordem nos números reais.
  • (Inverso aditivo) Para qualquer número x existe um -x tal que x+(-x)=0.
    Explicação: isso permite “subtrair” um mesmo número dos dois lados transformando em soma com o inverso.
  • (Produto de positivos é positivo) Se \,u>0 e \,v>0 então \,u\cdot v>0.
    Explicação: isto é um resultado padrão que costuma ser provado a partir dos axiomas de corpo ordenado; intuitivamente, multiplicar duas quantidades positivas dá positivo.
  • (Distributividade) Para quaisquer x,y,z vale \,(x-y)z = xz - yz.
    Explicação: é a distributividade da multiplicação sobre a subtração (que é soma com inverso).
  • (Preservação da desigualdade pela adição novamente) Se \,w>0 então, adicionando w aos dois lados de uma desigualdade, a ordem é preservada.
Vou usar essas propriedades em sequência para construir a prova. Se alguma delas parecia estranha, dá para ver exemplos numéricos: por exemplo, com a=1, b=3, c=2 temos 1<3 e 2>0; então 1\cdot2=2<6=3\cdot2, mostrando o que se quer provar.

Passo 3

Transformar a desigualdade inicial numa forma que facilite multiplicar: a partir de \,a<b subtraio a dos dois lados. Usando o inverso aditivo e a preservação da desigualdade pela soma, obtemos
b-a>0.
Detalhe das operações: somar -a a ambos os lados dá a+(-a)<b+(-a), isto é 0<b-a, logo b-a>0.

Passo 4

Agora multiplico a desigualdade \,b-a>0 pelo número positivo \,c>0. Pelo resultado “produto de positivos é positivo”, o produto é positivo:
(b-a)\,c>0.
Aqui uso explicitamente que tanto b-a>0 quanto c>0, portanto (b-a)c>0.

Passo 5

Aplicar a distributividade para escrever (b-a)c de outra forma. Pela distributividade:
(b-a)\,c = b c - a c.
Isso é válido porque subtração é soma com inverso, e a multiplicação distribui sobre a soma.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores: de (b-a)c>0 e (b-a)c = b c - a c segue
b c - a c > 0.
Agora adiciono a c aos dois lados da desigualdade. Usando novamente que somar um mesmo número preserva a desigualdade, obtenho
b c > a c.
Reescrevendo, isto é exatamente
a c < b c.

Passo 7

Interpretação intuitiva e encorajamento: a ideia essencial foi transformar a<b em b-a>0, multiplicar essa diferença positiva por c>0 (mantendo o sinal positivo), e então usar distributividade para ver que essa positividade equivale a b c - a c >0, isto é a c < b c. Tudo isso segue de propriedades básicas da ordem, soma e produto. Se algo parecer abstrato, teste com números concretos para sentir a mecânica: funciona sempre do mesmo jeito.

Resposta

a\cdot c<b\cdot c

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