Questão 12. Sejam
e
conjuntos. Prove que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
-
são conjuntos. - Sabe-se que
. - Sabe-se que
.
-
-
Pedido:
- Provar que
.
- Provar que
Passo 2
Lembrando definições e a estratégia.
- Definição de subconjunto (com símbolos):
- Dizemos que
quando todo elemento de pertence a . Formalmente: .
- Dizemos que
- Definição de subconjunto próprio:
- Dizemos que
quando e .
- Dizemos que
- Observação importante (o que nos será útil):
-
significa, por definição, que ambas as afirmações são verdadeiras: -
(ou seja, ); -
(ou seja, existe algum elemento em que não está em : ).
-
-
significa .
-
Estratégia de prova (elemento a elemento):
- Mostrar primeiro que
, isto é, . - Depois mostrar que
, fornecendo um elemento em que não está em . Juntando as duas, teremos .
Passo 3
Prova da inclusão
(elemento a elemento).
Queremos mostrar
.
- Comece pegando um elemento arbitrário
com a propriedade . - Como
(porque implica ), vale . Aplicando ao nosso , obtemos . - Agora, como
, vale . Aplicando ao (que já sabemos estar em ), obtemos . - Assim, partindo de
chegamos a . Como foi arbitrário, concluímos , ou seja, .
Comentário didático rápido: essa técnica de “pegar um elemento genérico e seguir as implicações” é chamada de prova por elemento (ou prova por extensionalidade) e é a forma padrão para demonstrar inclusões entre conjuntos.
Passo 4
Prova de que
(existência de elemento em
fora de
).
- Como
, sabemos que . Pela definição de desigualdade entre conjuntos nessa situação, existe pelo menos um elemento tal que (Isto é, .) - Mas também sabemos que
. Então, da propriedade segue . - Assim encontramos um elemento
com as duas propriedades e . Portanto contém um elemento que não pertence a , o que implica .
Comentário didático: para provar que dois conjuntos não são iguais é suficiente encontrar um elemento que esteja em um deles e não esteja no outro (prova por contraexemplo/existência).
Passo 5
Juntando as partes.
- Do
Passo 6
- Do
Passo 7
- As duas condições juntas são exatamente a definição de
(subconjunto próprio). - Portanto as hipóteses implicam que
.
Passo 8
Um exemplo concreto para fixar a intuição.
- Tome
, e . - Aqui
(porque e ) e . - Pela argumentação acima,
(de fato , então , e todo elemento de está em ).