Questão 12. Sejam A, B e C conjuntos. Prove que:
Se A \subsetneq B e B \subseteq C, então A \subsetneq C.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • A, B, C são conjuntos.
    • Sabe-se que A \subsetneq B.
    • Sabe-se que B \subseteq C.
  • Pedido:
    • Provar que A \subsetneq C.

Passo 2

Lembrando definições e a estratégia.
  • Definição de subconjunto (com símbolos):
    • Dizemos que X \subseteq Y quando todo elemento de X pertence a Y. Formalmente: \forall x\,(x\in X \Rightarrow x\in Y).
  • Definição de subconjunto próprio:
    • Dizemos que X \subsetneq Y quando \bigl(X \subseteq Y\bigr) e \bigl(X \neq Y\bigr).
  • Observação importante (o que nos será útil):
    • A \subsetneq B significa, por definição, que ambas as afirmações são verdadeiras:
      1. \forall x\,(x\in A \Rightarrow x\in B) (ou seja, A \subseteq B);
      2. A \neq B (ou seja, existe algum elemento em B que não está em A: \exists b\,(b\in B \land b\notin A)).
    • B \subseteq C significa \forall x\,(x\in B \Rightarrow x\in C).
Estratégia de prova (elemento a elemento):
  • Mostrar primeiro que \forall x\,(x\in A \Rightarrow x\in C), isto é, A \subseteq C.
  • Depois mostrar que A \neq C, fornecendo um elemento em C que não está em A. Juntando as duas, teremos A \subsetneq C.

Passo 3

Prova da inclusão A \subseteq C (elemento a elemento).
Queremos mostrar \forall x\,(x\in A \Rightarrow x\in C).
  • Comece pegando um elemento arbitrário x com a propriedade x\in A.
  • Como A \subseteq B (porque A \subsetneq B implica A \subseteq B), vale \forall y\,(y\in A \Rightarrow y\in B). Aplicando ao nosso x, obtemos x\in B.
  • Agora, como B \subseteq C, vale \forall y\,(y\in B \Rightarrow y\in C). Aplicando ao x (que já sabemos estar em B), obtemos x\in C.
  • Assim, partindo de x\in A chegamos a x\in C. Como x foi arbitrário, concluímos \forall x\,(x\in A \Rightarrow x\in C), ou seja, A \subseteq C.
Comentário didático rápido: essa técnica de “pegar um elemento genérico e seguir as implicações” é chamada de prova por elemento (ou prova por extensionalidade) e é a forma padrão para demonstrar inclusões entre conjuntos.

Passo 4

Prova de que A \neq C (existência de elemento em C fora de A).
  • Como A \subsetneq B, sabemos que A \neq B. Pela definição de desigualdade entre conjuntos nessa situação, existe pelo menos um elemento b tal que b\in B \quad\text{e}\quad b\notin A.(Isto é, \exists b\,(b\in B \land b\notin A).)
  • Mas também sabemos que B \subseteq C. Então, da propriedade b\in B segue b\in C.
  • Assim encontramos um elemento b com as duas propriedades b\in C e b\notin A. Portanto C contém um elemento que não pertence a A, o que implica A \neq C.
Comentário didático: para provar que dois conjuntos não são iguais é suficiente encontrar um elemento que esteja em um deles e não esteja no outro (prova por contraexemplo/existência).

Passo 5

Juntando as partes.
  • Do

Passo 6

  • Do

Passo 7

  • As duas condições juntas são exatamente a definição de A \subsetneq C (subconjunto próprio).
  • Portanto as hipóteses implicam que A \subsetneq C.

Passo 8

Um exemplo concreto para fixar a intuição.
  • Tome A=\{1\}, B=\{1,2\} e C=\{1,2,3\}.
  • Aqui A \subsetneq B (porque 1\in A e 2\in B\setminus A) e B \subseteq C.
  • Pela argumentação acima, A \subsetneq C (de fato 2\in C\setminus A, então A\neq C, e todo elemento de A está em C).

Resposta

A \subsetneq C

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