Resolva
L^{-1}\left[\frac{3 s^{2}}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\right]

Passo 1

O enunciado pede encontrar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{3\,s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}.
Vamos usar a linearidade da transformada inversa e os resultados básicos
\mathcal{L}^{-1}\bigl[1/(s^{2}+1)\bigr]=\sin t
e
\mathcal{L}^{-1}\bigl[1/(s^{2}+1)^{2}\bigr]=\tfrac{1}{2}(\sin t - t\cos t).

Passo 2

Fazemos uma decomposição algébrica em s:
\frac{3\,s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}} =\frac{3\,(s^{2}+1)-3}{(s^{2}+1)^{2}} =\frac{3}{s^{2}+1}-\frac{3}{(s^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Aplicamos a transformada inversa em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl[\frac{3}{s^{2}+1}\Bigr] =3\,\sin t,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl[\frac{3}{(s^{2}+1)^{2}}\Bigr] =3\cdot\frac{1}{2}\bigl(\sin t - t\cos t\bigr).

Passo 4

Pela linearidade,
f(t) =3\,\sin t -3\cdot\tfrac{1}{2}(\sin t - t\cos t) =\frac{3}{2}\sin t+\frac{3}{2}\,t\cos t.

Resposta

f(t)=\frac{3}{2}\bigl(\sin t + t\cos t\bigr).

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