Questão 10. Verifique se a função f(x, t)=\operatorname{sen}(x+t) satisfaz a equação f_{t}=f_{x}.

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se a função
f(x,t)=\sin(x+t)
satisfaz a equação diferencial parcial
f_{t}=f_{x}.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a t e a x.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial em relação a t:
f_{t} = \frac{\partial}{\partial t}\sin(x+t) = \cos(x+t)\cdot\frac{\partial}{\partial t}(x+t) = \cos(x+t)\cdot1 = \cos(x+t).

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a x:
f_{x} = \frac{\partial}{\partial x}\sin(x+t) = \cos(x+t)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+t) = \cos(x+t)\cdot1 = \cos(x+t).

Passo 4

Como ambas as derivadas parciais são iguais,
f_{t} = \cos(x+t) = f_{x),
concluímos que a equação
f_{t}=f_{x}
é satisfeita por f(x,t)=\sin(x+t).

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação f_{t}=f_{x}.

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