Questão 7. Calcule os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(4,2)} \frac{x^{2} \sqrt{y}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x^{2}\sqrt{y}}{\,x^{2}+y^{2}\,}
quando (x,y)\to(4,2). O conteúdo envolvido é continuidade de funções de \mathbb{R}^2.

Passo 2

Verificamos que as funções x\mapsto x^{2}, y\mapsto\sqrt{y} e (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} são contínuas em torno de (4,2). Além disso, em (4,2) temos
4^{2}+2^{2}=16+4=20\neq0,
logo o quociente também é contínuo ali. Podemos, portanto, usar substituição direta.

Passo 3

Substituindo (x,y)=(4,2) em cada parte, obtemos o numerador
4^{2}\sqrt{2}=16\sqrt{2},
e o denominador
4^{2}+2^{2}=20.

Passo 4

Basta simplificar a fração:
\frac{16\sqrt{2}}{20}=\frac{4\sqrt{2}}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{5}

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