Questão 11. Calcular as derivadas parciais das seguintes funções:
g(x, y, z)=x y z^{3} \mathrm{e}^{\frac{x y}{z+x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
g(x,y,z)=x\,y\,z^{3}\exp\!\bigl(\tfrac{x\,y}{z+x^{2}}\bigr).
O conteúdo envolvido é a aplicação da regra do produto para funções de várias variáveis e da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos calcular \partial g/\partial x. Defina
A(x,y,z)=x\,y\,z^{3}, \quad B(x,y,z)=\frac{x\,y}{\,z+x^{2}\,},
assim g=A\,e^{B}. Pela regra do produto e da cadeia,
\frac{\partial g}{\partial x} =\frac{\partial A}{\partial x}e^{B}+A\,e^{B}\frac{\partial B}{\partial x}.
Agora,
\frac{\partial A}{\partial x} =y\,z^{3}, \qquad \frac{\partial B}{\partial x} =\frac{(y)(z+x^{2})-(x\,y)(2x)}{(z+x^{2})^{2}} =\frac{y\,z - x^{2}y}{(z+x^{2})^{2}} =\frac{y\,(z-x^{2})}{(z+x^{2})^{2}}.
Logo,
\frac{\partial g}{\partial x} =y\,z^{3}e^{B} +x\,y\,z^{3}e^{B}\,\frac{y\,(z-x^{2})}{(z+x^{2})^{2}} =y\,z^{3}e^{\frac{x\,y}{z+x^{2}}} \Bigl[ 1+\frac{x\,y\,(z-x^{2})}{(z+x^{2})^{2}} \Bigr].

Passo 3

Para \partial g/\partial y, mantemos A e B acima. Então
\frac{\partial g}{\partial y} =\frac{\partial A}{\partial y}e^{B}+A\,e^{B}\frac{\partial B}{\partial y}.
Calculamos
\frac{\partial A}{\partial y} =x\,z^{3}, \qquad \frac{\partial B}{\partial y} =\frac{x}{\,z+x^{2}\,}.
Assim
\frac{\partial g}{\partial y} =x\,z^{3}e^{B} +x\,y\,z^{3}e^{B}\,\frac{x}{z+x^{2}} =x\,z^{3}e^{\frac{x\,y}{z+x^{2}}} \Bigl[ 1+\frac{x\,y}{z+x^{2}} \Bigr].

Passo 4

Para \partial g/\partial z, novamente
\frac{\partial g}{\partial z} =\frac{\partial A}{\partial z}e^{B}+A\,e^{B}\frac{\partial B}{\partial z}.
Temos
\frac{\partial A}{\partial z} =3\,x\,y\,z^{2}, \qquad \frac{\partial B}{\partial z} =-\frac{x\,y}{(z+x^{2})^{2}}.
Logo
\frac{\partial g}{\partial z} =3\,x\,y\,z^{2}e^{B} -x\,y\,z^{3}e^{B}\,\frac{x\,y}{(z+x^{2})^{2}} =x\,y\,z^{2}e^{\frac{x\,y}{z+x^{2}}} \Bigl[ 3-\frac{x\,y\,z}{(z+x^{2})^{2}} \Bigr].

Resposta

\frac{\partial g}{\partial x} =y\,z^{3}e^{\frac{x\,y}{z+x^{2}}} \Bigl[ 1+\frac{x\,y\,(z-x^{2})}{(z+x^{2})^{2}} \Bigr],
\frac{\partial g}{\partial y} =x\,z^{3}e^{\frac{x\,y}{z+x^{2}}} \Bigl[ 1+\frac{x\,y}{z+x^{2}} \Bigr],
\frac{\partial g}{\partial z} =x\,y\,z^{2}e^{\frac{x\,y}{z+x^{2}}} \Bigl[ 3-\frac{x\,y\,z}{(z+x^{2})^{2}} \Bigr].

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