Questão 7. Calcule os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(4,2)} \ln \left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(4,2)} \ln\!\biggl(\frac{x^2+y^2}{\,x - y + 1\,}\biggr).
O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis e uso de continuidade de funções elementares (soma, produto, quociente e logaritmo).

Passo 2

Observamos a função interna
f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{\,x - y + 1\,}.
Para que o logaritmo seja contínuo em (4,2), precisamos de f(4,2)>0 e do denominador x-y+1\neq0 em (4,2).

Passo 3

Calculando em (4,2):
o numerador é
4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20,
o denominador é
4 - 2 + 1 = 3,
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f(4,2) = \frac{20}{3} > 0.

Passo 4

Como f é contínua em (4,2) e \ln é contínuo para argumentos positivos, o limite da composição é o logaritmo do valor em (4,2):
\lim_{(x,y)\to(4,2)} \ln\!\biggl(\frac{x^2+y^2}{x-y+1}\biggr) = \ln\!\Bigl(f(4,2)\Bigr) = \ln\!\Bigl(\tfrac{20}{3}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \ln\!\Bigl(\tfrac{20}{3}\Bigr)

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