Questão 97: A temperatura é
. Em que direção partindo de (
) a temperatura decresce mais rapidamente?
Passo 1
O enunciado dá a temperatura como a função
e pede: a partir do ponto
, em que direção a temperatura decresce mais rapidamente?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função temperatura:
. - O ponto em que devemos analisar:
. - A pergunta: direção (vetorial) de maior decrescimento da temperatura a partir desse ponto.
Passo 2
Conceito que precisamos usar (explicado com calma): o decrescimento da função numa direção é medido pela derivada direcional. Para uma função de três variáveis, a derivada direcional de
no ponto
na direção de um vetor unitário
é
onde
é o gradiente de
(vetor cujas componentes são as derivadas parciais), e
é o produto escalar. Explicando cada peça:
-
. Cada componente é a taxa de variação de em relação a uma coordenada. -
deve ser unitário (norma ) para que a derivada direcional represente a taxa por unidade de comprimento nessa direção. - O produto escalar
é máximo quando aponta na mesma direção que , com valor máximo . É mínimo (isto é, maior decrescimento) quando aponta na direção oposta ao gradiente, com valor mínimo .
Portanto, a direção de decrescimento mais rápido é a direção de. Em termos práticos, calculamos no ponto e tomamos seu negativo (ou o versor na direção negativa do gradiente).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. A função é
. Usando a regra da cadeia:
De forma análoga,
Logo o gradiente é
Passo 4
Avaliar o gradiente em
. Primeiro calcule o expoente:
então
. Substituindo,
Como explicado antes, a direção de decrescimento mais rápido é
. Calculando esse vetor:
Normalizando para obter a direção unitária (útil para descrever apenas a direção, sem escala): a norma de
é
. Assim o versor nessa direção é
Observe que
é um múltiplo positivo de
, logo a direção (orientação) do maior decrescimento é a de
.
Passo 5
Interpretação intuitiva curta (pra dar ânimo): a função
é máxima no centro (origem) e decresce ao afastar-se da origem. No ponto
, a temperatura diminui mais rapidamente ao seguir a direção que leva para mais longe da origem, ou seja, ao longo do vetor
saindo do ponto — que fica representado pelo versor
.