Questão 97: A temperatura é T(x, y, z)=e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}. Em que direção partindo de ( 1,1,1 ) a temperatura decresce mais rapidamente?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura como a função T(x,y,z)=e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}} e pede: a partir do ponto (1,1,1), em que direção a temperatura decresce mais rapidamente?
Informações relevantes dadas:
  • A função temperatura: T(x,y,z)=e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.
  • O ponto em que devemos analisar: (1,1,1).
  • A pergunta: direção (vetorial) de maior decrescimento da temperatura a partir desse ponto.

Passo 2

Conceito que precisamos usar (explicado com calma): o decrescimento da função numa direção é medido pela derivada direcional. Para uma função de três variáveis, a derivada direcional de T no ponto P na direção de um vetor unitário u é
D_{u}T(P)=\nabla T(P)\cdot u,
onde \nabla T é o gradiente de T (vetor cujas componentes são as derivadas parciais), e \cdot é o produto escalar. Explicando cada peça:
  • \nabla T(P)=\left(\dfrac{\partial T}{\partial x}(P),\dfrac{\partial T}{\partial y}(P),\dfrac{\partial T}{\partial z}(P)\right). Cada componente é a taxa de variação de T em relação a uma coordenada.
  • u deve ser unitário (norma 1) para que a derivada direcional represente a taxa por unidade de comprimento nessa direção.
  • O produto escalar \nabla T\cdot u é máximo quando u aponta na mesma direção que \nabla T, com valor máximo \|\nabla T\|. É mínimo (isto é, maior decrescimento) quando u aponta na direção oposta ao gradiente, com valor mínimo -\|\nabla T\|.
    Portanto, a direção de decrescimento mais rápido é a direção de -\nabla T(P). Em termos práticos, calculamos \nabla T no ponto e tomamos seu negativo (ou o versor na direção negativa do gradiente).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de T. A função é T(x,y,z)=e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}. Usando a regra da cadeia:
\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{d}{dx}\big(e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\big) = e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(-x^{2}-y^{2}-z^{2}) = e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\cdot(-2x).
De forma análoga,
\frac{\partial T}{\partial y} = -2y\,e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}},\qquad \frac{\partial T}{\partial z} = -2z\,e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.
Logo o gradiente é
\displaystyle \nabla T(x,y,z)=\big(-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}},\,-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}},\,-2z\,e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\big).

Passo 4

Avaliar o gradiente em P=(1,1,1). Primeiro calcule o expoente:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1^{2}+1^{2}+1^{2}=3,
então e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}=e^{-3}. Substituindo,
\nabla T(1,1,1)=\big(-2\cdot1\,e^{-3},\,-2\cdot1\,e^{-3},\,-2\cdot1\,e^{-3}\big) = -2e^{-3}\,(1,1,1).
Como explicado antes, a direção de decrescimento mais rápido é -\nabla T(1,1,1). Calculando esse vetor:
-\nabla T(1,1,1)=2e^{-3}\,(1,1,1).
Normalizando para obter a direção unitária (útil para descrever apenas a direção, sem escala): a norma de (1,1,1) é \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}. Assim o versor nessa direção é
u=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}.
Observe que -\nabla T(1,1,1) é um múltiplo positivo de (1,1,1), logo a direção (orientação) do maior decrescimento é a de u.

Passo 5

Interpretação intuitiva curta (pra dar ânimo): a função T=e^{-(x^{2}+y^{2}+z^{2})} é máxima no centro (origem) e decresce ao afastar-se da origem. No ponto (1,1,1), a temperatura diminui mais rapidamente ao seguir a direção que leva para mais longe da origem, ou seja, ao longo do vetor (1,1,1) saindo do ponto — que fica representado pelo versor \dfrac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}

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