Questão 6 ':(10pts) Determine x tal que os pontos
A=(x, 1,2), B=(2,-2,-3), C=(5,-1,1) \text { e } D=(3,-2,-2)
sejam vértices consecutivos de um paralelogramo.

Passo 1

O enunciado pede encontrar x de modo que o quadrilátero com vértices em ordem consecutiva
A=(x,1,2),\quad B=(2,-2,-3),\quad C=(5,-1,1),\quad D=(3,-2,-2)
seja um paralelogramo.
Uma propriedade-chave de paralelogramo no espaço é que as diagonais se cruzam em seus pontos médios, logo
\frac{A+C}{2} \;=\;\frac{B+D}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad A + C \;=\; B + D.

Passo 2

Escrevendo a condição vetorial A+C = B+D em coordenadas, temos
(x,1,2) + (5,-1,1) \;=\; (2,-2,-3) + (3,-2,-2).

Passo 3

Somando coordenada a coordenada em cada lado:
Lado esquerdo:
A + C = (\,x+5,\;1+(-1),\;2+1\,) = (\,x+5,\;0,\;3\,).
Lado direito:
B + D = (\,2+3,\;-2+(-2),\;-3+(-2)\,) = (\,5,\;-4,\;-5\,).

Passo 4

Igualando as componentes correspondentes:
x+5 = 5 \implies x = 0,
0 = -4 \quad(\!\text{contradição}\!),çã
3 = -5 \quad(\!\text{contradição}\!).çã
As componentes y e z não conferem para nenhum valor de x.

Resposta

Não existe valor de x que torne A,B,C,D vértices consecutivos de um paralelogramo.

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