Questão7 (10pts cada item) Verdadeiro ou Falso?
(a) Se X, Y, W e Z são vetores não nulos paralelos ao plano \pi cujo vetor normal é N, então os vetores N,(X \times Y) e (W \times Z) são paralelos.
(b) U \times(U+V)=-V \times U se U e V não são paralelos.
(c) (U+V) \times(U-V)=2 \cdot U \times V.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar como Verdadeiras ou Falsas três afirmações sobre o produto vetorial de vetores em ℝ³. O conteúdo principal é a propriedade de que o produto vetorial de dois vetores paralelos a um plano π gera um vetor perpendicular a π, além das propriedades bilineares e antissimétricas do produto vetorial.

Passo 2

Analisando o item (a): se X e Y são paralelos a π, então X\times Y é perpendicular a π, logo paralelo ao vetor normal N. Do mesmo modo, W\times Z também é perp. a π. Assim N, (X\times Y) e (W\times Z) são todos colineares, ou seja, paralelos entre si. Portanto o item (a) é Verdadeiro.

Passo 3

Analisando o item (b):
U\times (U+V)=U\times U + U\times V=0 + U\times V=U\times V.
Por outro lado,
-V\times U = -(V\times U)= -(-\,U\times V)=U\times V.
Como ambos os lados valem U\times V, a igualdade vale sempre, mesmo se U e V não forem paralelos. Logo o item (b) é Verdadeiro.

Passo 4

Analisando o item (c):
(U+V)\times(U-V)=U\times U - U\times V + V\times U - V\times V =0 - U\times V + V\times U - 0.
Como V\times U = -\,U\times V, resulta
-\,U\times V + (-\,U\times V) = -\,2\,(U\times V),
e não +2\,(U\times V). Portanto o item (c) é Falso.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Falso

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