Resolva os itens abaixo.
Ache a equação simétrica da reta r determinada pela interseção dos planos x-y+z=0 e 5 x-3 y+2 z= 13.

Passo 1

O enunciado pede a equação simétrica da reta r que é a interseção dos planos
x - y + z = 0
e
5x - 3y + 2z = 13.
Para achar essa equação, precisamos de dois ingredientes:
  1. um vetor diretor \mathbf{v} de r;
  2. um ponto qualquer P_0 pertencente a r.

Passo 2

O vetor diretor \mathbf{v} de r é ortogonal aos dois vetores normais dos planos. Sejam
\mathbf{n_1} = (1,-1,1)
e
\mathbf{n_2} = (5,-3,2).
Então
\mathbf{v} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = (1,-1,1)\times(5,-3,2) = (1,3,2).

Passo 3

Para encontrar um ponto P_0=(x,y,z) na reta, resolvemos o sistema dos dois planos.
Escolhemos z=t. Da primeira equação vem
x - y + t = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = y - t.
Substituindo em 5x - 3y + 2z = 13 obtemos
5(y - t) -3y + 2t = 13 \quad\Longrightarrow\quad 2y -3t = 13 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{13+3t}{2},
e então
x = \frac{13+3t}{2} - t = \frac{13 + t}{2}.
Para simplificar pegamos t = 0. Assim
P_0 = \Bigl(\tfrac{13}{2},\,\tfrac{13}{2},\,0\Bigr).

Passo 4

Com o ponto P_0 e o vetor diretor \mathbf{v}=(1,3,2), a equação simétrica da reta r é
\frac{x - \tfrac{13}{2}}{1} = \frac{y - \tfrac{13}{2}}{3} = \frac{z - 0}{2}.

Resposta

\frac{x - \tfrac{13}{2}}{1} = \frac{y - \tfrac{13}{2}}{3} = \frac{z}{2}.

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