Questão 11. Ache a solução geral das EDO’s:
(1-raizy) y^prime=y e (x+2 y+3)+(2 x+4 y-1) y^prime=0
( Resp. ln |y| / C=x+2 raizy e (x+2 y+3)^2-7(2 y+3)=C)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral de duas Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente de integrais e técnicas de resolução de EDOs. Vamos precisar separar variáveis, integrar e manipular expressões matemáticas para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a primeira EDO:
(1-raizy) y' = y
Aqui, y' representa a derivada de y em relação a x . Vamos separar as variáveis y e x para facilitar a integração.

Passo 3

Reescrevemos a equação para isolarmos y' :
y' = y1 - raizy
Agora, separamos as variáveis y e x :
1 - raizyy dy = dx

Passo 4

Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
1 - raizyy = 1y - 1raizy
Agora podemos integrar ambos os lados:
integral ( 1y - 1raizy ) dy = integral dx

Passo 5

Calculando as integrais:
ln|y| - 2raizy = x + C
Onde C é a constante de integração. Podemos rearranjar para isolar ln|y| :
ln|y| = x + 2raizy + C
Podemos simplificar a constante C absorvendo-a na equação, ficando:
ln|y| = x + 2raizy + C

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda EDO:
(x + 2y + 3) + (2x + 4y - 1) y' = 0
Primeiro, isolamos y' :
y' = -x + 2y + 32x + 4y - 1
Essa equação sugere que podemos procurar uma função potencial F(x,y) tal que dF = 0 .

Passo 7

Assumindo que existe uma função F(x,y) cuja derivada parcial em relação a x é x + 2y + 3 :
partial Fpartial x = x + 2y + 3
Integramos em relação a x :
F(x,y) = 12x^2 + 2xy + 3x + g(y)
Onde g(y) é uma função que depende apenas de y .

Passo 8

Derivamos F(x,y) em relação a y e igualamos à outra parte da equação:
partial Fpartial y = 2x + g'(y) = 2x + 4y - 1
Então:
g'(y) = 4y - 1
Integrando em relação a y :
g(y) = 2y^2 - y + C

Passo 9

Substituímos g(y) na expressão de F(x,y) :
F(x,y) = 12x^2 + 2xy + 3x + 2y^2 - y = C
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
x^2 + 4xy + 6x + 4y^2 - 2y = C
Podemos reorganizar a equação para uma forma mais compacta:
(x + 2y + 3)^2 - 7(2y + 3) = C

Resposta

A solução geral das EDO’s é dada por:
ln |y| = x + 2 raizy + C e (x + 2y + 3)^2 - 7(2y + 3) = C

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