Questão 11. Ache a solução geral das EDO’s:
Resp.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral de duas Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente de integrais e técnicas de resolução de EDOs. Vamos precisar separar variáveis, integrar e manipular expressões matemáticas para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a primeira EDO:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Vamos separar as variáveis
e
para facilitar a integração.
Passo 3
Reescrevemos a equação para isolarmos
:
Agora, separamos as variáveis
e
:
Passo 4
Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Agora podemos integrar ambos os lados:
Passo 5
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração. Podemos rearranjar para isolar
:
Podemos simplificar a constante
absorvendo-a na equação, ficando:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda EDO:
Primeiro, isolamos
:
Essa equação sugere que podemos procurar uma função potencial
tal que
.
Passo 7
Assumindo que existe uma função
cuja derivada parcial em relação a
é
:
Integramos em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 8
Derivamos
em relação a
e igualamos à outra parte da equação:
Então:
Integrando em relação a
:
Passo 9
Substituímos
na expressão de
:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Podemos reorganizar a equação para uma forma mais compacta:
Resposta
A solução geral das EDO’s é dada por: