Questão 13. Resolva os seguintes PVI’s:
y^prime & =k(a-x)(b-y) y(0) & =0 onde, a, b>0 são constantes. (Resp. ln |1-yb|= k x(x2-a))

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y' = k,(a-x),(b-y), y(0)=0,
onde a,b>0 são constantes. O conteúdo aqui é de equação diferencial de variáveis separáveis, pois podemos escrever todos os y de um lado e todos os x do outro.

Passo 2

Reescrevemos a equação separando as variáveis:

Passo 3

Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo note que, com a substituição , , temos
No lado direito é integral polinomial:
Juntando constantes , obtemos

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=0. Em x=0, fica
-lnl|b-0r| = -ln b = kl(acdot0 - 0r) + C ;Longrightarrow; C = -ln b
Logo
-lnl|b-yr| = kl(a x - tfracx^22r) - ln b

Passo 5

Isolamos o logaritmo de forma a obter lnl|1-tfrac ybr|. Primeiro,
-lnl|b-yr| + ln b = kl(a x - tfracx^22r) Longrightarrow lnbb-y = kl(a x - tfracx^22r)
Como bb-y=1/(1-y/b), toma-se inverso dentro do logaritmo:
-lngl(1 - ybgr) = kl(a x - tfracx^22r) Longrightarrow lngl(1 - ybgr) = kl(tfracx^22 - a xr) = k,xl(tfracx2-ar)

Resposta

lnl|1 - ybr| = k,xl(tfracx2-ar)

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