Questão 9. Resolva as EDO’s redutíveis:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem
Este tipo de equação é redutível à primeira ordem pela substituição
Vamos usar essa ideia para transformar a equação num problema de ordem inferior.
Passo 2
Definindo
, calculamos
Da EDO dada temos
. Dividindo ambos os lados por
,
Passo 3
Transformamos
numa equação em
e
. Como
e
, temos
Logo
uma equação separável em
e
.
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável original,
, obtemos
Isto é uma EDO de primeira ordem separável:
Passo 6
Para integrar o lado esquerdo usamos a integral padrão
Aqui
a = raizC1 . Logo
com
C2 outra constante de integração.
Passo 7
Multiplicando por
-raizC1 e renomeando constantes, obtemos a forma implícita da solução:
Exponenciando,
onde
K = e^C3 é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da EDO
pode ser escrita implicitamente por
onde
C1 e
K são constantes de integração.