Questão 9. Resolva as EDO’s redutíveis:
y y^prime prime-(y^prime)^2=y^4

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem
y,y'' - (y')^2 = y^4
Este tipo de equação é redutível à primeira ordem pela substituição
u(x) = y'(x)y(x)
Vamos usar essa ideia para transformar a equação num problema de ordem inferior.

Passo 2

Definindo u = y'/y, calculamos
u' = ddxl(y'yr) = y'',y - (y')^2y^2
Da EDO dada temos y,y'' - (y')^2 = y^4. Dividindo ambos os lados por y^2,
u' = y^4y^2 = y^2

Passo 3

Transformamos u'(x)=y^2 numa equação em u e y. Como u' = dudx e y' = u,y, temos
dudx = y^2 Longrightarrow dudy,dydx = y^2 Longrightarrow dudy,u,y = y^2
Logo
u,dudy = y^2y = y,
uma equação separável em u e y.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a y:
integral u,du = integral y,dy Longrightarrow u^22 = y^22 + C1 Longrightarrow u^2 = y^2 + C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, u = y'/y, obtemos
l(y'yr)^2 = y^2 + C1 Longrightarrow y'y = pmraizy^2 + C1
Isto é uma EDO de primeira ordem separável:
dyyraizy^2 + C1 = pm dx

Passo 6

Para integrar o lado esquerdo usamos a integral padrão
integral dyyraizy^2 + a^2 = -1alnl|a + raizy^2 + a^2yr| + const
Aqui a = raizC1. Logo
-1raizC1 lnl|raizC1 + raizy^2 + C1yr| = pm x + C2,
com C2 outra constante de integração.

Passo 7

Multiplicando por -raizC1 e renomeando constantes, obtemos a forma implícita da solução:
lnl|raizy^2 + C1 + raizC1yr| = mp raizC1,x + C3
Exponenciando,
raizy^2 + C1 + raizC1y = K,e^mp raizC1,x,
onde K = e^C3 é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da EDO
y,y'' - (y')^2 = y^4
pode ser escrita implicitamente por
raizy^2 + C1 + raizC1y = K,e^-raizC1,x ou raizy^2 + C1 + raizC1y = K,e^raizC1,x,
onde C1 e K são constantes de integração.

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