Questão 12. Determine a solução do PVI
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver dois Problemas de Valor Inicial (PVI) envolvendo equações diferenciais. A matéria aqui é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar essas equações para encontrarmos a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o primeiro PVI:
Essa é uma equação diferencial linear da forma
. Aqui,
e
.
Passo 3
Para resolver, precisamos achar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Passo 4
Para calcular essa integral, usamos integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a integração por partes:
Agora, calculamos a segunda integral da mesma forma.
Passo 5
Novamente, usando integração por partes para
:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na primeira integral:
Simplificando:
Passo 7
Portanto, o fator integrante é:
Mas, para simplificar, vamos utilizar o fato de que a equação é homogênea (Q(x) = 0), então a solução geral é
.
Passo 8
Como a equação é homogênea, a solução geral fica:
Usando a integral que calculamos:
Passo 9
Aplicando a condição inicial
:
Então,
.
Passo 10
Assim, a solução do primeiro PVI é:
Passo 11
Agora, vamos resolver o segundo PVI:
Novamente, é uma equação linear da forma
, onde
e
.
Passo 12
Calculamos o fator integrante:
Passo 13
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 14
Integrando ambos os lados:
Vamos calcular a integral
usando integração por partes.
Passo 15
Primeiro, para
.
Para
, usamos integração por partes duas vezes:
Primeira vez:
Então:
Segunda vez:
Então:
Passo 16
Substituindo de volta:
Passo 17
Voltando à integral original:
Passo 18
Então, a solução fica:
Dividindo por
:
Passo 19
Aplicando a condição inicial
:
Resposta
A solução do primeiro PVI é
e a solução do segundo PVI é
.