Questão 12. Determine a solução do PVI
r l y ^ prime + ( 1 + x ^ 2 ) e ^ - x y & = 0 y ( 0 ) & = 1 e rl y^prime+y & =1+x^2 y(0) & =2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver dois Problemas de Valor Inicial (PVI) envolvendo equações diferenciais. A matéria aqui é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar essas equações para encontrarmos a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o primeiro PVI:
y' + (1 + x^2) e^-x y = 0 y(0) = 1
Essa é uma equação diferencial linear da forma y' + P(x) y = Q(x) . Aqui, P(x) = (1 + x^2)e^-x e Q(x) = 0 .

Passo 3

Para resolver, precisamos achar o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular a integral de P(x) :
integral (1 + x^2)e^-x dx

Passo 4

Para calcular essa integral, usamos integração por partes. Vamos definir:
u = 1 + x^2 Rightarrow du = 2x dx dv = e^-x dx Rightarrow v = -e^-x
Aplicando a integração por partes:
integral (1 + x^2)e^-x dx = -(1 + x^2)e^-x + integral 2x e^-x dx
Agora, calculamos a segunda integral da mesma forma.

Passo 5

Novamente, usando integração por partes para integral 2x e^-x dx :
u = 2x Rightarrow du = 2 dx dv = e^-x dx Rightarrow v = -e^-x
Então:
integral 2x e^-x dx = -2x e^-x + integral 2 e^-x dx = -2x e^-x - 2 e^-x + C

Passo 6

Substituindo de volta na primeira integral:
integral (1 + x^2)e^-x dx = -(1 + x^2)e^-x + (-2x e^-x - 2 e^-x) + C = - (1 + x^2 + 2x + 2) e^-x + C
Simplificando:
integral P(x) dx = - (x^2 + 2x + 3) e^-x + C

Passo 7

Portanto, o fator integrante é:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^- (x^2 + 2x + 3) e^-x
Mas, para simplificar, vamos utilizar o fato de que a equação é homogênea (Q(x) = 0), então a solução geral é y cdot mu(x) = C .

Passo 8

Como a equação é homogênea, a solução geral fica:
y = Cmu(x) = C e^integral -P(x) dx
Usando a integral que calculamos:
y = C e^(x^2 + 2x + 3) e^-x

Passo 9

Aplicando a condição inicial y(0) = 1 :
1 = C e^(0 + 0 + 3) e^0 = C e^3
Então, C = e^-3 .

Passo 10

Assim, a solução do primeiro PVI é:
y = e^-3 e^(x^2 + 2x + 3) e^-x = e^(x^2 + 2x) e^-x

Passo 11

Agora, vamos resolver o segundo PVI:
y' + y = 1 + x^2 y(0) = 2
Novamente, é uma equação linear da forma y' + P(x) y = Q(x) , onde P(x) = 1 e Q(x) = 1 + x^2 .

Passo 12

Calculamos o fator integrante:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 1 dx = e^x

Passo 13

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^x y' + e^x y = e^x (1 + x^2)
Isso simplifica para:
ddx ( e^x y ) = e^x (1 + x^2)

Passo 14

Integrando ambos os lados:
e^x y = integral e^x (1 + x^2) dx + C
Vamos calcular a integral integral e^x (1 + x^2) dx usando integração por partes.

Passo 15

Primeiro, para integral e^x dx = e^x + C .
Para integral e^x x^2 dx , usamos integração por partes duas vezes:
Primeira vez:
u = x^2 Rightarrow du = 2x dx dv = e^x dx Rightarrow v = e^x
Então:
integral e^x x^2 dx = x^2 e^x - integral 2x e^x dx
Segunda vez:
u = 2x Rightarrow du = 2 dx dv = e^x dx Rightarrow v = e^x
Então:
integral 2x e^x dx = 2x e^x - 2 e^x + C

Passo 16

Substituindo de volta:
integral e^x x^2 dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) + C = e^x (x^2 - 2x + 2) + C

Passo 17

Voltando à integral original:
integral e^x (1 + x^2) dx = integral e^x dx + integral e^x x^2 dx = e^x + e^x (x^2 - 2x + 2) + C = e^x (x^2 - 2x + 3) + C

Passo 18

Então, a solução fica:
e^x y = e^x (x^2 - 2x + 3) + C
Dividindo por e^x :
y = x^2 - 2x + 3 + C e^-x

Passo 19

Aplicando a condição inicial y(0) = 2 :
2 = 0 - 0 + 3 + C e^0 Rightarrow 2 = 3 + C Rightarrow C = -1

Resposta

A solução do primeiro PVI é y = e^(x^2 + 2x) e^-x e a solução do segundo PVI é y = x^2 - 2x + 3 - e^-x .

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