Questão 11. (Bussab) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. São retiradas 3 peças aleatoriamente, sem reposição. Qual é a probabilidade de que:
Todas sejam defeituosas?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo o que segue foi retirado do enunciado):
  • Total de peças no lote: 12.
  • Número de peças defeituosas: 4.
  • Número de peças retiradas: 3.
  • Retirada sem reposição (ou seja, as retiradas são dependentes).
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que todas as 3 peças retiradas sejam defeituosas?

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática do método): como a amostragem é sem reposição, uma forma padrão e direta é usar contagem combinatória (modelo hipergeométrico). A ideia é: contar de quantas formas é possível selecionar 3 peças todas defeituosas e dividir pelo total de formas de selecionar 3 peças quaisquer do lote.
Antes disso, vamos lembrar a definição usada:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. A quantidade \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k elementos dentre n sem ordem.

Passo 3

Aplicando o raciocínio combinatório:
  • Número de maneiras de escolher 3 itens defeituosos dentre os 4 defeituosos disponíveis:
\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!1!}.
Calculemos:
4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24,\qquad 3!=6,\qquad 1!=1,
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\binom{4}{3}=\frac{24}{6\cdot1}=4.
  • Número de maneiras de escolher 3 itens quaisquer dentre as 12 peças:
\binom{12}{3}=\frac{12!}{3!9!}.
Para calcular sem desenvolver todo o fatorial, usamos a forma reduzida:
\binom{12}{3}=\frac{12\cdot11\cdot10}{3\cdot2\cdot1}=\frac{1320}{6}=220.
  • Portanto, pela razão de contagens:
\text{Probabilidade}=\frac{\binom{4}{3}}{\binom{12}{3}}=\frac{4}{220}.
Simplificando a fração:
\frac{4}{220}=\frac{1}{55}.

Passo 4

Verificação alternativa (método multiplicativo condicional, que costuma ser mais intuitivo em provas): calcular a probabilidade de tirar uma defeituosa em cada sorteio, usando probabilidades condicionais sucessivas.
  • Probabilidade de a primeira peça ser defeituosa: \dfrac{4}{12}.
  • Se a primeira foi defeituosa, restam 3 defeituosas em 11 peças, então probabilidade da segunda ser defeituosa: \dfrac{3}{11}.
  • Se as duas primeiras foram defeituosas, restam 2 defeituosas em 10 peças, então probabilidade da terceira ser defeituosa: \dfrac{2}{10}.
Pela regra do produto para eventos em sequência (dependentes):
\text{Probabilidade}=\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{11}\cdot\frac{2}{10}.
Calculemos:
\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{11}\cdot\frac{2}{10}=\frac{24}{1320}=\frac{1}{55}.
Resultado coincide com o do método combinatório, como deve acontecer.

Passo 5

Interpretação final e dica prática para a prova: a resposta em forma de fração reduzida é \dfrac{1}{55}. Pelo método combinatório, pensar em “número de escolhas favoráveis sobre número de escolhas totais” é uma forma segura para problemas sem reposição. Pelo método multiplicativo, pensar em probabilidades condicionais passo a passo é rápido e evita cálculos de binomiais em alguns casos — bom ter os dois na manga.

Resposta

\dfrac{1}{55}

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