Questão 11. (Bussab) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. São retiradas 3 peças aleatoriamente, sem reposição. Qual é a probabilidade de que:
Todas sejam defeituosas?
Todas sejam defeituosas?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo o que segue foi retirado do enunciado):
- Total de peças no lote:
. - Número de peças defeituosas:
. - Número de peças retiradas:
. - Retirada sem reposição (ou seja, as retiradas são dependentes).
- Pergunta: qual é a probabilidade de que todas as
peças retiradas sejam defeituosas?
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática do método): como a amostragem é sem reposição, uma forma padrão e direta é usar contagem combinatória (modelo hipergeométrico). A ideia é: contar de quantas formas é possível selecionar
peças todas defeituosas e dividir pelo total de formas de selecionar
peças quaisquer do lote.
Antes disso, vamos lembrar a definição usada:
onde
(fatorial) é
. A quantidade
é o número de maneiras de escolher
elementos dentre
sem ordem.
Passo 3
Aplicando o raciocínio combinatório:
- Número de maneiras de escolher
itens defeituosos dentre os defeituosos disponíveis:
Calculemos:
logo
- Número de maneiras de escolher
itens quaisquer dentre as peças:
Para calcular sem desenvolver todo o fatorial, usamos a forma reduzida:
- Portanto, pela razão de contagens:
Simplificando a fração:
Passo 4
Verificação alternativa (método multiplicativo condicional, que costuma ser mais intuitivo em provas): calcular a probabilidade de tirar uma defeituosa em cada sorteio, usando probabilidades condicionais sucessivas.
- Probabilidade de a primeira peça ser defeituosa:
. - Se a primeira foi defeituosa, restam
defeituosas em peças, então probabilidade da segunda ser defeituosa: . - Se as duas primeiras foram defeituosas, restam
defeituosas em peças, então probabilidade da terceira ser defeituosa: .
Pela regra do produto para eventos em sequência (dependentes):
Calculemos:
Resultado coincide com o do método combinatório, como deve acontecer.
Passo 5
Interpretação final e dica prática para a prova: a resposta em forma de fração reduzida é
. Pelo método combinatório, pensar em “número de escolhas favoráveis sobre número de escolhas totais” é uma forma segura para problemas sem reposição. Pelo método multiplicativo, pensar em probabilidades condicionais passo a passo é rápido e evita cálculos de binomiais em alguns casos — bom ter os dois na manga.