Questão 11. Calcular as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\operatorname{arctg}\left(\frac{x}{y}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\operatorname{arctg}\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr).
O conteúdo envolvido é derivada parcial, usando a regra da cadeia e a derivada de função composta com quociente. Vamos definir u=\tfrac{x}{y} para aplicar
\tfrac{d}{du}\bigl(\operatorname{arctg}(u)\bigr)=\tfrac{1}{1+u^2}
e usar a derivada de u em relação a x e y.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante. Com u=x/y temos
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{y}.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{1+u^2}\,\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{1+(x/y)^2}\cdot\frac{1}{y} =\frac{y}{x^2+y^2}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante. Com u=x/y temos
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^{-1}\bigr) =-\frac{x}{y^2}.
Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{1+u^2}\,\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{1+(x/y)^2}\cdot\Bigl(-\frac{x}{y^2}\Bigr) =-\frac{x}{x^2+y^2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y}{x^2+y^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{x}{x^2+y^2}.

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