Sabendo que \operatorname{sec} x=3, calcule o valor da expressão y=\operatorname{sen}^{2} x+2 \operatorname{tg}^{2} x.

Passo 1

O enunciado diz que \operatorname{sec} x=3 e pede o valor de
y=\operatorname{sen}^{2}x+2\operatorname{tg}^{2}x.
O conteúdo envolvido são as identidades trigonométricas básicas:
  1. \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x},
  2. \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1,
  3. \operatorname{tg} x=\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}.

Passo 2

De \operatorname{sec} x=3 segue
\cos x=\frac{1}{\operatorname{sec} x}=\frac{1}{3}.
Usando \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1, obtemos
\operatorname{sen}^{2}x=1-\cos^{2}x =1-\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{2} =1-\frac{1}{9} =\frac{8}{9}.

Passo 3

Para \operatorname{tg}^{2}x, usamos
\operatorname{tg}^{2}x=\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{\cos^{2}x} =\frac{\tfrac{8}{9}}{\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}} =\frac{\tfrac{8}{9}}{\tfrac{1}{9}} =8.

Passo 4

Substituímos em
y=\operatorname{sen}^{2}x+2\,\operatorname{tg}^{2}x =\frac{8}{9}+2\cdot 8 =\frac{8}{9}+16 =\frac{8+144}{9} =\frac{152}{9}.

Resposta

y=\frac{152}{9}.

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