Sejam f(x) e g(y) duas funções contínuas nos intervalos [a, b] e [c, d], respectivamente. Isto é, f só depende de x e g só depende de y. Assim a integral dupla pode ser dividida em duas integrais simples definidas. Isto é, temos que
integral duplaA f(x) cdot g(y) d x d y=(integrala^b f(x) d x) cdot(integralc^d g(y) d y)
onde A=[a, b] times[c, d].
Utilizando esse resultado do enunciado, calcule:
integral duplaA x e^x^2+y^2 d x d y, onde A=[-1,1] times[0,3]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaA x e^x^2+y^2 ,dx,dy
no retângulo A=[-1,1]times[0,3], sabendo que, se a função se separa em produto de algo que depende só de x vezes algo que depende só de y, então
integral duplaA f(x),g(y),dx,dy =l(integrala^bf(x),dxr),l(integralc^dg(y),dyr)
Aqui vamos usar essa propriedade de separação e, em seguida, reconhecer simetria (ou usar substituição) para avaliar a integral em x.

Passo 2

Observe que
x,e^x^2+y^2 = l(x,e^x^2r),l(e^y^2r)
Logo podemos definir
f(x)=x,e^x^2, g(y)=e^y^2,
e pela propriedade de separação:
integral duplaA x,e^x^2+y^2,dx,dy =l(integral-1^1x,e^x^2,dxr), l(integral0^3e^y^2,dyr)

Passo 3

O integrando x,e^x^2 é uma função ímpar em x (pois x é ímpar e e^x^2 é par). Em consequência,
integral-1^1x,e^x^2,dx = 0
Portanto o produto das duas integrais vale
0 times integral0^3e^y^2,dy = 0

Resposta

0

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