Questão 11. Calcule as integrais abaixo:
integral sec ^4 x cot ^6 x sin ^8 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sec^4x,cot^6x,sin^8x,dx
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades que convertam tudo em senos e cossenos, simplificar a expressão e aplicar a identidade de redução de potência.

Passo 2

Escrevemos tudo em termos de sin x e cos x:
sec^4x = 1cos^4x, cot^6x = cos^6xsin^6x, sin^8x = sin^8x
Logo
sec^4x,cot^6x,sin^8x = 1cos^4x,cos^6xsin^6x,sin^8x

Passo 3

Simplificando as potências:
cos^6xcos^4x = cos^2x, sin^8xsin^6x = sin^2x
Portanto o integrando vira
sin^2x,cos^2x
Então nossa integral é
integral sin^2x,cos^2x,dx

Passo 4

Usamos a identidade de ângulo duplo para transformar sin^2x,cos^2x. Primeiro:
sin^2x,cos^2x = 14sin^2(2x)
Em seguida aplicamos a redução de potência em sin^2(2x):
sin^2(2x) = 1 - cos(4x)2
Logo
sin^2x,cos^2x = 14cdot 1 - cos(4x)2 = 1 - cos(4x)8

Passo 5

Substituindo na integral:
integral sin^2x,cos^2x,dx = integral 1 - cos(4x)8,dx = 18integral l(1 - cos(4x)r),dx

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral 1,dx = x, integral cos(4x),dx = sin(4x)4
Portanto
18integral l(1 - cos(4x)r),dx = 18l(x - sin(4x)4r)+C

Resposta

boxedx8 - sin(4x)32 + C

Exercícios relacionados