Questão 12. Encontre o valor médio de f(x)=(4-x^2)^32 no intervalo [0, 2].

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função
f(x)=l(4 - x^2r)^32
no intervalo [0,2].
O conteúdo que vamos usar é o conceito de valor médio de uma função contínua e técnicas de integração, em particular substituição trigonométrica.

Passo 2

Pela definição de valor médio, temos
bar f ;=;12-0integral0^2l(4 - x^2r)^32,dx ;=;12integral0^2l(4 - x^2r)^32,dx

Passo 3

Para calcular
integral0^2l(4 - x^2r)^32,dx
fazemos a substituição trigonométrica
x = 2sintheta, dx = 2costheta,dtheta,
com theta variando de 0 a tfracpi2. Então
4 - x^2 = 4cos^2theta, l(4 - x^2r)^tfrac32 = (4cos^2theta)^tfrac32 = 8cos^3theta,
e o integrando vira
8cos^3thetacdot 2costheta,dtheta = 16cos^4theta,dtheta
Assim
integral0^2l(4 - x^2r)^tfrac32,dx =16integral0^pi2cos^4theta,dtheta

Passo 4

Usamos a fórmula de redução ou resultado conhecido
integral0^pi2cos^4theta,dtheta = 3pi16
Portanto
16integral0^pi2cos^4theta,dtheta =16cdot3pi16=3pi

Passo 5

Voltando ao valor médio, concluímos
bar f = 12integral0^2l(4 - x^2r)^tfrac32,dx = 12cdot 3pi = 3pi2

Resposta

O valor médio de f em [0,2] é 3pi2.

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