Sejam f(x) e g(y) duas funções contínuas nos intervalos [a, b] e [c, d], respectivamente. Isto é, f só depende de x e g só depende de y. Assim a integral dupla pode ser dividida em duas integrais simples definidas. Isto é, temos que
integral duplaA f(x) cdot g(y) d x d y=(integrala^b f(x) d x) cdot(integralc^d g(y) d y)
onde A=[a, b] times[c, d].
Utilizando esse resultado do enunciado, calcule:
integral duplaA (sen x)^21+4 y^2 d x d y, onde A=[0,2] times[1,2]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular
integral duplaAsin^2 x1+4y^2,dx,dy onde A=[0,2]times[1,2]
O tópico é integral dupla de função separável, ou seja, se a gente escrever
f(x)=sin^2x e g(y)=11+4y^2,
aí vale
integral duplaA f(x)g(y),dx,dy =l(!integral0^2f(x),dxr);times;l(!integral1^2g(y),dyr)
Pra resolver, vamos precisar de:
  1. integral0^2sin^2x,dx
  2. integral1^211+4y^2,dy

Passo 2

Calcular Ix=integral0^2sin^2x,dx.
A gente usa a identidade trigonométrica
sin^2x=1-cos(2x)2
Então
Ix =integral0^21-cos(2x)2,dx =12integral0^2 1,dx ;-;12integral0^2cos(2x),dx
Agora:
  • integral0^2 1,dx = [x]0^2 = 2
  • integral0^2cos(2x),dx = l[sin(2x)2r]0^2 = sin(4)2 - 0
    Então
Ix =12cdot 2 ;-;12cdot sin42 =1 - sin44

Passo 3

Calcular Iy=integral1^211+4y^2,dy.
A fórmula padrão é
integral11+a^2y^2,dy =1aarctan(ay)
Aqui a=2, então
Iy =integral1^211+(2y)^2,dy =12l[arctan(2y)r]1^2 =12l(arctan(4)-arctan(2)r)

Passo 4

Como é separável, basta multiplicar:
integral duplaAsin^2x1+4y^2,dx,dy =Ix;times;Iy =l(1-sin44r);times;12l(arctan4-arctan2r)

Resposta

boxedintegral duplaAsin^2x1+4y^2,dx,dy =l(1-tfracsin44r);12l(arctan4-arctan2r)

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