QUESTÃO 7. Calcule a integral \int x \cdot \cos x^{2} \cdot d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral \displaystyle \int x\cos(x^{2})\,dx. O conteúdo principal é integração por substituição, já que vemos a função \cos(x^{2}) multiplicada pela derivada de x^{2}.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^{2}.
Derivando ambos os lados, obtemos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac12\,du.

Passo 3

Reescrevemos a integral em função de u:
\int x\cos(x^{2})\,dx = \int \cos(u)\,\bigl(\tfrac12\,du\bigr) = \tfrac12 \int \cos(u)\,du.
Sabemos que
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C,
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\tfrac12 \int \cos(u)\,du = \tfrac12\,\sin(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável original usando u = x^{2}, obtemos
\tfrac12\,\sin(u) + C = \tfrac12\,\sin(x^{2}) + C.

Resposta

\displaystyle \tfrac12\sin(x^{2}) + C

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